Часть 2. Конкретные статистические методы

Глава 5. Статистические методы анализа числовых выборок

	Рассмотрим несколько типовых задач анализа числовых данных, часто встречающихся при применении статистических методов в различных областях научных исследований и отраслях народного хозяйства. В настоящей главе выборка моделируется как  совокупность независимых одинаково распределенных числовых случайных величин.

5.1. Оценивание основных характеристик распределения
 
	Раздел посвящен непараметрическому точечному и интервальному оцениванию характеристик распределения (математического ожидания, медианы, дисперсии, среднего квадратического отклонения, коэффициента вариации) по выборке результатов измерений. Выборочные значения рассматриваются как реализации независимых одинаково распределенных случайных величин с произвольной функцией распределения.
	Существенная часть алгоритмов статистического анализа данных исходит из предположения о нормальности распределения результатов наблюдений. Между тем специально проведенные исследования (сводка дана в главе 2.1) показывают, что распределения погрешностей физических измерений, как правило, отличны от нормальных. Из-за отклонений от нормальности свойства алгоритмов могут в одних случаях измениться сравнительно слабо, как при проверке гипотезы однородности математических ожиданий для выборок равного объема (см. следующий раздел), но иногда изменения таковы, что алгоритмы из научных переходят в эвристические. Например, свойства алгоритмов отбраковки выбросов (резко выделяющихся  наблюдений) крайне неустойчивы по отношению к отклонениям от нормальности: если зафиксировать правило отбраковки, то крайне неустойчив уровень значимости, а если зафиксировать уровень значимости, то крайне неустойчиво критическое значение (см. раздел 4.2). Поэтому Российской академией статистических методов в 1998 г. выдвинута задача изучения влияния отклонения от нормальности на свойства всех практически используемых алгоритмов статистического анализа.   
	Одна из основных задач в области статистических методов – оценивание по выборочным данным характеристик генеральной совокупности, таких, как математическое ожидание, медиана, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации. Точечные оценки строятся очевидным образом – используют выборочные аналоги теоретических характеристик. Для получения интервальных оценок приходится использовать асимптотическую нормальность выборочных моментов и функций от них.
	Пусть исходные данные – это выборка x1, x2, … , xn, где n – объем выборки. В вероятностной модели выборочные значения x1, x2, … , xn рассматриваются как реализации независимых одинаково распределенных случайных величин X1, X2, … , Xn с общей функцией распределения F(x) = P (Xi < x), i = 1,2, …, n. Поскольку функция распределения произвольна (с точностью до условий регулярности типа существования моментов), то рассматриваемые задачи доверительного оценивания характеристик распределения являются непараметрическими. Существование моментов является скорее математическим ограничением, чем реальным, поскольку практически все реальные статистические данные финитны (т.е. ограничены сверху и снизу, например, шкалой прибора). Для простоты изложения примем это предположение финитности, из которого вытекает существование теоретических моментов любого порядка.
	В расчетах будут использоваться выборочное среднее арифметическое
 = (X1 + X2  +… + Xn) / n,
выборочная дисперсия 
 = {(X1 – )2 + (X2 – )2  +… + (Xn – )2} / (n-1),
выборочное среднее квадратическое отклонение s0 (квадратный корень из выборочной дисперсии) и некоторые другие выборочные характеристики, которые введем позже.
	Точечное и интервальное оценивание математического ожидания. Точечной оценкой для математического ожидания в силу закона больших чисел является выборочное среднее арифметическое . В некоторых случаях могут быть использованы и другие оценки. Например, если известно, что распределение симметрично относительно своего центра, то центр распределения является не только математическим ожиданием, но и медианой, а потому для его оценки можно использовать выборочную медиану.
	Нижняя доверительная граница для математического ожидания имеет вид 
 – U(p) s0 / n1/2 ,
где: p – доверительная вероятность (истинное значение математического ожидания находится между нижней доверительной границей и верхней доверительной границей с вероятностью, асимптотически равной доверительной);
	U(p) – число, заданное равенством Ф(U(p)) = (1+ p)/2, где Ф(х) – функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Например, при p =  95% (т.е. при р = 0,95) имеем U(p) = 1,96. Функция U(p) имеется в большинстве литературных источников по теории вероятностей и математической статистике (см., например, [1]). 
	Верхняя доверительная граница для математического ожидания имеет вид 
 + U(p) s0/ n1/2 .
	Выражения для верхней и нижней доверительных границ получены с помощью центральной предельной теоремы теории вероятностей и теоремы о наследовании сходимости (см. главу 14). Они являются асимптотическими, т.е. становятся тем точнее, чем больше объем выборки. В частности, вероятность попадания истинного значения математического ожидания в интервал между нижней и верхней доверительными границами асимптотически приближается к доверительной вероятности. Но при конечном объеме выборки может незначительно отличаться от нее. Это – недостатки непараметрического подхода. Достоинством же является то, что его можно применять всегда, когда случайная величина имеет математическое ожидание и дисперсию, что в силу финитности (ограниченности шкал) имеет быть практически всегда в реальных ситуациях.
	Сопоставим с параметрическим подходом. Обычно в таких случаях предполагают нормальность результатов наблюдений (которой, как уже было отмечено, практически никогда нет). Тогда формулы нижней и верхней доверительных границ для математического ожидания имеют похожий вид, только вместо U(p) стоят квантили распределения Стьюдента. Как известно, при росте объема выборки квантили распределения Стьюдента сходятся к соответствующим квантилям стандартного нормального распределения, так что при больших объемах выборок оба подхода дают близкие результаты. Классические доверительные интервалы несколько длиннее, поскольку квантили распределения Стьюдента больше квантилей стандартного нормального распределения, хотя это различие и невелико.
	Пример 1. Рассмотрим данные о наработке резцов до отказа, приведенные в табл. 3.2 раздела 3.1. Для них выборочное среднее арифметическое  = 57,88 (это и есть точечная оценка для математического ожидания), выборочная дисперсия  = 663,00, объем выборки n = 50. 
	Следовательно, выборочное среднее квадратическое отклонение s0 =  и согласно приведенным выше формулам при доверительной вероятности р = 0,95 нижняя доверительная граница для математического ожидания такова:
57,88 – 1,96 × 25,75 /  = 57,88 – 7,14 = 50,74,
а верхняя доверительная граница есть 57,88 + 7,14 = 65,02.
	Если заранее известно, что результаты наблюдения имеют нормальное распределение, то нижняя и верхняя доверительная границы для математического ожидания определяются по формулам
 - t(p, n-1) s0 /,  + t(p, n-1) s0 /
соответственно. Эти формулы отличаются от предыдущих тем, что квантиль нормального распределения U(p) заменена на аналогичную квантиль распределения Стьюдента с (n – 1) степенью свободы. Другими словами, t(p, n-1) – это число, заданное равенством STn-1(p) = (1+ p)/2, где STn-1(х) – функция распределения Стьюдента с (n – 1) степенью свободы. 
	Для доверительной вероятности р = 0,95 при объеме выборки n = 50 согласно [1] имеем t(p, n-1) = 2,0096. Следовательно, нижняя доверительная граница для математического ожидания такова:
57,88 – 2,0096 × 25,75 /  = 57,88 – 7,32 = 50,56,
а верхняя доверительная граница есть 57,88 + 7,32 = 65,20. Таким образом, длина доверительного интервала увеличилась с 14,28 до 14,64, т.е. на 2,5%. 
	Cогласно расчетам, проведенным в главе 4.1, рассматриваемые данные согласуются с гамма-распределением, а не с нормальным распределением, поэтому использование распределения Стьюдента для получения доверительных границ некорректно. 
	Иногда рекомендуют сначала проверить нормальность результатов наблюдений, а потом, в случае принятия гипотезы нормальности, рассчитывать доверительные границы с использованием квантилей распределения Стьюдента. Однако проверка нормальности - более сложная статистическая процедура, чем оценивание математического ожидания. Кроме того, применение одной статистической процедуры, как правило, нарушает предпосылки следующей процедуры, в частности, независимость результатов наблюдений (см. раздел 4.5). Поэтому цепочка статистических процедур, следующих друг за другом, как правило, образует статистическую технологию, свойства которой неизвестны на современном уровне развития статистических методов. 
	Итак, только непараметрическую статистическую процедуру следует применять для анализа реальных данных. Как правило, встречающиеся на практике распределения не являются нормальными, а потому использование квантилей распределения Стьюдента неправомерно. 
	Точечное и интервальное оценивание медианы. Точечной оценкой для медианы является выборочная медиана.
	Пример 2. Для данных о наработке резцов до отказа (табл. 3.2 раздела 3.1) объем выборки – четное число, поэтому выборочной медианой является полусумма 25-го и 26-го членов вариационного ряда, т.е. (56 + 56,5)/2 = 56,25.
	Чтобы построить доверительные границы для медианы, по доверительной вероятности р находят U(p). Затем вычисляют натуральное число 
С(р) = [n/2 – U(p)n1/2 /2],
где [.] – знак целой части числа. Нижняя доверительная граница для медианы имеет вид (при C(p) > 1; если p = 0,95 и U(p) = 1,96, то C(p) > 1 при n > 8)
Х(С(р)),
где Х(i) – член с номером i вариационного ряда, построенного по исходной выборке (т.е. i-я порядковая статистика). 
	Верхняя доверительная граница для медианы имеет вид
Х(n + 1 - С(р)).
Теоретическое основание для приведенных доверительных границ содержится в литературе по порядковым статистикам (см., например, монографию [2, с.68]). 
	Пример 3. Для данных о наработке резцов до отказа n = 50. Рассмотрим как обычно, доверительную вероятность р = 0,95. Тогда 
С(р) = [50/2 – 1,96  /2]= [18,07] = 18.
Следовательно, нижней доверительной границей является Х(18) = 47,5, а верхней доверительной границей Х(50 + 1 - 18) = Х(33) = 61,5. 
	Поскольку в случае нормального распределения медиана совпадает с математическим ожиданием, то каких-либо специальных способов ее оценивания в классическом случае нет.
	Точечное и интервальное оценивание дисперсии. Точечной оценкой дисперсии является выборочная дисперсия . Эта оценка - несмещенная и состоятельная. Доверительные границы находятся с помощью величины
d2 = (m4  - ((n – 1) /n ) 4   ) / n ,
где m4  - выборочный четвертый центральный момент, т.е.
m4  =  {(X1 – )4 + (X2 – )4 +… + (X n – )4 } / n .
	Нижняя доверительная граница для дисперсии такова:
 - U(p)d ,
где  – выборочная дисперсия; U(p) – квантиль нормального распределения порядка (1+р)/2, а d – положительный квадратный корень из величины d2, введенной выше.
	Верхняя доверительная граница для дисперсии имеет вид 
 + U(p)d .
	При выводе приведенных соотношений используется асимптотическая нормальность выборочной дисперсии, установленная, например, в монографии [3, с.419]. Соответственно, непараметрический доверительный интервал является  асимптотическим. В классическом случае точечная оценка имеет тот же вид, а вот доверительные границы находят с помощью квантилей распределения хи-квадрат с числом степеней свободы, на 1 меньшим объема выборки. В случае нормального распределения четвертый момент в 3 раза больше квадрата дисперсии, а потому можно оценить d2 как . Это дает быстрый способ для интервальной оценки дисперсии в нормальном случае.
	Пример 4. Для данных о наработке резцов до отказа объем выборки n = 50, выборочная дисперсия  = 663,00, четвертый выборочный момент m4 = 1702050,71. Поэтому
d2 = (1702050,71- ((50 – 1) /50)4 663,002) /50 = 25932,13.
Тогда d = 161,03. Для доверительной вероятности р =0,95 нижняя доверительная граница для дисперсии случайной величины такова:
663,00 – 1,96×161,03 = 663,00 – 315,63 = 347,37,
а верхняя доверительная граница для дисперсии есть 663,00 + 315,63 = 978,63.
	Пример 5. В случае нормального распределения с целью быстрого получения доверительного интервала величина d2 оценивается как
(2) / n = (2 × 663,002) / 50 = 17582,76,
а потому d = 132,6. Для доверительной вероятности  р =0,95 нижняя доверительная граница для дисперсии заменяется на 
663,00 – 1,96×132,6= 663,00 – 259,90 = 403,10,
а верхняя доверительная граница – на 663,00 + 259,90 = 922,9. 
	Сужение границ для дисперсии вполне естественно. Данные о наработке резцов до предельного состояния (т.е. до отказа) соответствуют гамма-распределению, а это распределение является асимметричным, с «тяжелым» правым «хвостом». Последнее означает, что плотность убывает заметно медленнее, чем для нормального распределения. Как следствие, четвертый момент заметно больше, чем для нормального распределения с теми же математическим ожиданием и дисперсией. А потому больше и параметр d. Из проведенных расчетов видно, что использование алгоритмов расчетов, соответствующих нормальному распределению, в ситуации, когда распределение результатов наблюдений существенно отличается от нормального, может привести к заметному искажению выводам.
	Пример 6. В классическом случае нормального распределения исходят из того, что величина (n – 1) /σ2 имеет распределение хи-квадрат с (n – 1) степенью свободы. Для доверительной вероятности р =0,95 следует рассмотреть неравенство
31,555 < (n – 1) /σ2 < 70,222,
справедливое с вероятностью 0,95, поскольку 
F(31,555)= 0,025, F(70,222) = 0,975,
где F(x) – функция хи-квадрат распределения с 49 степенями свободы. Следовательно, нижняя доверительная граница для дисперсии нормально распределенной случайной величины такова:
(n – 1) /70,222 = (49×663,00)/70,222 = 462,63,
а верхняя доверительная граница есть 
(n – 1) /31,555 = (49×663,00)/ 31,555 = 1029,54.
	Полученный доверительный интервал не является симметричным относительно точечной оценки. Нижняя доверительная граница больше, чем в примерах 4 и 5, но и верхняя доверительная граница тоже больше. Несимметричность доверительного интервала в примере 6 приводит к тому, что его трудно сопоставить с симметричными интервалами примеров 4 и 5. Что же касается практических рекомендаций, то они однозначны: обычно нет основания считать, что результаты измерений имеют нормальное распределение, поэтому при анализе реальных данных надо пользоваться непараметрическими методами.
	Точечное и интервальное оценивание среднего квадратического отклонения. Точечной оценкой является выборочное среднее квадратическое отклонение, т.е. неотрицательный квадратный корень из выборочной дисперсии. Дисперсия рассматриваемой случайной величины - выборочного среднего квадратического отклонения s0 – оценивается как дробь
d 2 / (4).
Нижняя доверительная граница для среднего квадратического отклонения  исходной случайной величины имеет вид 
s0 - U(p)d / (2s0) ,
где  – выборочная дисперсия, U(p) – квантиль нормального распределения порядка (1+р)/2, а d – положительный квадратный корень из величины d2, введенной выше при оценивании дисперсии.
	Верхняя доверительная граница для среднего квадратического отклонения исходной случайной величины имеет вид 
s0 + U(p)d / (2s0).
	Пример 7. Для данных о наработке резцов до отказа точечной оценкой для среднего квадратического отклонения является .
	При доверительной вероятности р = 0,95 нижняя доверительная граница такова:
25,75 – 1,96×161,03 / (2×25,75) = 25,75 – 6,13 = 19,62.
Соответственно верхняя доверительная граница симметрична нижней относительно точечной оценки и равна = 25,75 + 6,13 = 31,88.
	Правила интервального оценивания для среднего квадратического отклонения получены из аналогичных правил для оценивания дисперсии с помощью метода линеаризации (см. главу 14). Доверительный интервал - симметричный, непараметрический и асимптотический. 
	Есть и другой способ доверительного оценивания. Поскольку среднее квадратическое отклонение – это квадратный корень их дисперсии, то доверительные границы можно получить, извлекая квадратные корни из одноименных границ для дисперсии.
	Пример 8. Для данных о наработке резцов до отказа при доверительной вероятности р = 0,95 согласно примеру 4 доверительный интервал для дисперсии – это [347,37; 978,63]. Извлекая квадратные корни, получаем доверительный интервал [18,64; 31,28] для среднего квадратического отклонения, соответствующий тому же значению доверительной вероятности. Он не является симметричным относительно точечной оценки. Его длина 12,64 несколько больше длины симметричного доверительного интервала 12,26 в примере 7.   
	Подход, основанный на гипотезе нормальности распределения результатов наблюдения, связан с использованием распределения хи-квадрат и сводится к извлечению квадратных корней из доверительных границ для дисперсии.
	Пример 9. Формально применяя классический подход к данным о наработке резцов до отказа, исходим из доверительного интервала для дисперсии [462,63; 1029,54], соответствующего доверительной вероятности р = 0,95. Извлекая квадратные корни, находим доверительный интервал для среднего квадратического отклонения [21,51; 32,09]. Как и следовало ожидать, длина этого несимметричного интервала 10,58 меньше длины непараметрического доверительного интервала, равной 12,68.
	Точечное и интервальное оценивание коэффициента вариации. Коэффициент вариации V = σ/М(Х) широко используется при анализе конкретных технических, экономических, социологических, медицинских и иных данных (поскольку они, как правило, положительны). Точечной оценкой теоретического коэффициента вариации V является выборочный коэффициент вариации 
Vn = s0 / .
Дисперсия выборочного коэффициента вариации состоятельно оценивается с помощью вспомогательной величины
D2 = (Vn4 - Vn2 / 4 + m4 / (4 2) - m3 / 3) / n,
где  – выборочное среднее арифметическое,   – выборочная дисперсия, 	m3  - выборочный третий центральный момент, т.е.
m3  = {(X1 – )3 + (X2 – )3  +… + (Xn – )3 } / n ,
m4  - выборочный четвертый центральный момент (см. выше), Vn – выборочный коэффициент вариации, n  - объем выборки.
	Нижняя доверительная граница для (теоретического) коэффициента вариации исходной случайной величины имеет вид
Vn  - U(p) D,
где Vn – выборочный коэффициент вариации, U(p) – квантиль нормального распределения порядка (1+р)/2 (как и ранее), D – положительный квадратный корень из величины D2, введенной выше.
	Верхняя доверительная граница для (теоретического) коэффициента вариации исходной случайной величины имеет вид 
Vn  + U(p) D.
	Как и в предыдущих случаях, доверительный интервал - непараметрический и асимптотический. Он получен в результате применения специальной технологии вывода асимптотических соотношений прикладной статистики. Эта технология в качестве первого шага использует многомерную центральную предельную теорему, примененную к сумме векторов, координаты которых – степени исходных случайных величин. Второй шаг – преобразование предельного многомерного нормального вектора с целью получения интересующего исследователя вектора. При этом используются соображения линеаризации и отбрасываются бесконечно малые величины. Третий шаг – строгое обоснование полученных результатов на стандартном для асимптотических математико-статистических рассуждений уровне. При этом обычно приходится использовать необходимые и достаточные условия наследования сходимости (см. главу 14). Именно таким образом получены приведенные выше результаты для выборочного коэффициента вариации. Формулы оказались существенно более сложными, чем в предыдущих случаях. Это объясняется тем, что выборочный коэффициент вариации - функция двух выборочных моментов, а ранее рассматривались либо выборочные моменты поодиночке, либо функция от одного выборочного момента - выборочной дисперсии.
	Пример 10. Для данных о наработке резцов до отказа выборочное среднее арифметическое  = 57,88, выборочная дисперсия  = 663,00, выборочное среднее квадратическое отклонение s0 = 25,75, выборочный третий центральный момент m3 = 14927,91, выборочный четвертый центральный момент m4 = 1702050,71. Следовательно, выборочный коэффициент вариации таков:
Vn = 25,75 / 57,88 = 0,4449.
Рассчитаем значение вспомогательной величины
D2 = ((0,4449)4 – (0,4449)2/4 + 1702050,71/ (4×663,00×(57,88)2) -
- 14927,91/(57,88)3)/50 = (0,0392 – 0,0495 + 0,1916 – 0,0770)/50 =
= 0,1043/50 = 0,002086.
Следовательно, D = 0,04567. При доверительной вероятности р = 0,95 нижняя доверительная граница для теоретического коэффициента вариации имеет вид 
0,4449 – 1,96×0,04567 = 0,4449 – 0,0895 = 0,3554,
а верхняя доверительная граница такова:
0,4449 + 0,0895 = 0,5344.
	Среди классических результатов математической статистики, основанных на гипотезе нормальности результатов наблюдений, нет методов нахождения доверительных границ для коэффициента вариации, поскольку задача построения таких границ не выражается в терминах обычно используемых распределений, например, распределений Стьюдента, Фишера и хи-квадрат.
	Примеры применения доверительных границ для коэффициентов вариации при решении прикладных задач приведены, например, в наших работах, посвященных анализу технических характеристик и показателей качества эластомерных (резинотехнических) материалов и изделий.
	Итак, сформулированы правила непараметрического оценивания обычно используемых характеристик распределения случайной величины. Эти правила основаны на асимптотических результатах теории вероятностей и математической статистики. Использование методов, разработанных в предположении нормальности распределения, может привести к заметно искаженным выводам в ситуации, когда гипотеза нормальности не выполнена. Практические рекомендации таковы: при анализе реальных данных следует использовать непараметрические доверительные границы.

5.2. Методы проверки однородности характеристик 
двух независимых выборок

	В прикладных исследованиях часто необходимо выяснить, различаются ли генеральные совокупности, из которых взяты две независимые выборки. Например, надо выяснить, влияет ли способ упаковки подшипников на их потребительские качества через год после хранения. Или: отличается ли потребительское поведение мужчин и женщин. Если отличается – рекламные ролики и плакаты надо делать отдельно для мужчин и отдельно для женщин. Если нет – рекламная кампания может быть единой. 
	В математико-статистических терминах постановка задачи такова: имеются две выборки x1, x2,...,xm и y1, y2,...,yn (т. е. наборы из m и п действительных чисел), требуется проверить их однородность. Термин «однородность» уточняется ниже. 
	Противоположным понятием является «различие». Можно переформулировать задачу: требуется проверить, есть ли различие между выборками. Если различия нет, то для дальнейшего изучения две рассматриваемые выборки часто объединяют в одну. 
	Например, в маркетинге важно выделить сегменты потребительского рынка. Если установлена однородность двух выборок, то возможно объединение сегментов, из которых они взяты, в один. В дальнейшем это позволит осуществлять по отношению к ним одинаковую маркетинговую политику (проводить одни и те же рекламные мероприятия и т.п.). Если же установлено различие, то поведение потребителей в двух сегментах различно, объединять эти сегменты нельзя, и могут понадобиться различные маркетинговые стратегии, своя для каждого из этих сегментов.
	Традиционный метод проверки однородности (критерий Стьюдента). Для дальнейшего критического разбора опишем традиционный статистический метод проверки однородности. Он широко использовался в течение всего ХХ в. Хотя к настоящему времени этот метод устарел (см. ниже), но продолжает встречаться в учебной литературе, и потому и применяться для анализа конкретных данных. 
	При использовании традиционного метода проверки однородности вычисляют выборочные средние арифметические в каждой выборке
 ,
затем выборочные дисперсии
 ,  
и статистику Стьюдента t, на основе которой принимают решение,
  .    (5.1)
По заданному уровню значимости  и числу степеней свободы (m+n _ 2) из таблиц распределения Стьюдента находят критическое значение tкр. Если |t|>tкр, то гипотезу однородности (отсутствия различия) отклоняют, если же |t|<tкр, то принимают. (При односторонних альтернативных гипотезах вместо условия |t|>tкр проверяют, что t>tкр; эту постановку рассматривать не будем, так как в ней нет принципиальных отличий от обсуждаемой здесь.)
	Рассмотрим условия применимости традиционного метода проверки однородности, основанного на использовании статистики t Стьюдента, а также обсудим современные методы проверки однородности двух выборок.
	Вероятностная модель порождения данных. Для обоснованного применения статистических методов необходимо построить и обосновать вероятностную модель порождения данных. При проверке однородности двух выборок общепринята модель, в которой x1, x2, ..., xm рассматриваются как результаты m независимых наблюдений некоторой случайной величины Х с функцией распределения F(x), неизвестной статистику, а y1, y2, ..., yn - как результаты п независимых наблюдений, вообще говоря, другой случайной величины Y с функцией распределения G(x), также неизвестной статистику. Предполагается также, что наблюдения в одной выборке не зависят от наблюдений в другой, поэтому выборки и называют независимыми.
	Возможность применения модели в конкретной реальной ситуации требует обоснования. Независимость и одинаковая распределенность результатов наблюдений, входящих в выборку, могут быть установлены или исходя из методики проведения конкретных наблюдений, или путем проверки статистических гипотез независимости и одинаковой распределенности с помощью соответствующих критериев [1].
	Если проведено (т+п) измерений объемов продаж в (т+п) торговых точках, то описанную выше модель, как правило, можно применять. Если же, например, xi и yi - объемы продаж одного и того же товара до и после определенного рекламного воздействия, то рассматриваемую модель применять нельзя. В последнем случае используют модель связанных выборок. В ней обычно строят новую выборку zi = xi - yi и используют статистические методы анализа одной выборки, а не двух. Методы проверка однородности для связанных выборок рассматривается в разделах 5.5 и 5.6.
	При дальнейшем изложении принимаем описанную выше вероятностную модель двух выборок.
	Уточнения понятия однородности. Понятие «однородность», т.е. «отсутствие различия», может быть формализовано в терминах вероятностной модели различными способами.
	Наивысшая степень однородности достигается, если обе выборки взяты из одной и той же генеральной совокупности, т. е. справедлива нулевая гипотеза
H0 : F(x)=G(x) при всех х.
Отсутствие однородности означает, что верна альтернативная гипотеза, согласно которой
H1 : F(x0)G(x0) 
хотя бы при одном значении аргумента x0. Если гипотеза H0  принята, то выборки можно объединить в одну, если нет - то нельзя.
	В некоторых случаях целесообразно проверять не совпадение функций распределения, а совпадение некоторых характеристик случайных величин Х и Y - математических ожиданий, медиан, дисперсий, коэффициентов вариации и др. Например, однородность математических ожиданий означает, что справедлива гипотеза
H'0 : M(X)=M(Y),
где M(Х) и M(Y) - математические ожидания случайных величин Х и Y, результаты наблюдений над которыми составляют первую и вторую выборки соответственно. Доказательство различия между выборками в рассматриваемом случае - это доказательство справедливости альтернативной гипотезы  
H'1 : M(X)  M(Y).
	Если гипотеза H0  верна, то и гипотеза H'0 верна, но из справедливости H'0 , вообще говоря, не следует справедливость H0. Математические ожидания могут совпадать для различающихся между собой функций распределения. В частности, если в результате обработки выборочных данных принята гипотеза H'0, то отсюда не следует, что две выборки можно объединить в одну. Однако в ряде ситуаций целесообразна проверка именно гипотезы H'0 . Например, пусть функция спроса на определенный товар или услугу оценивается путем опроса потребителей (первая выборка) или с помощью данных о продажах (вторая выборка). Тогда маркетологу важно проверить гипотезу об отсутствии систематических расхождений результатов этих двух методов, т.е. гипотезу о равенстве математических ожиданий. 
	Другой пример – из производственного менеджмента. Пусть изучается эффективность управления бригадами рабочих на предприятии с помощью двух организационных схем, результаты наблюдения - объем производства на одного члена бригады (производительность), а показатель эффективности организационной схемы - средний (по предприятию) объем производства на одного рабочего. Тогда для сравнения эффективности препаратов достаточно проверить гипотезу H'0 .
	Классические условия применимости критерия Стьюдента. Согласно математико-статистической теории должны быть выполнены два классических условия применимости критерия Стьюдента, основанного на использовании статистики t, заданной формулой (5.1):
	а) результаты наблюдений имеют нормальные распределения:
F(x)=N(x; m1, 12), G(x)=N(x; m2, 22) 
с математическими ожиданиями m1 и m2 и дисперсиями 12 и 22 в первой и во второй выборках соответственно;
	б) дисперсии результатов наблюдений в первой и второй выборках совпадают:
D(X)=12=D(Y)=22.
	Если условия а) и б) выполнены, то нормальные распределения F(x) и G(x) отличаются только математическими ожиданиями, а поэтому обе гипотезы H0  и H'0  сводятся к гипотезе
H»0 : m1=m2, 
а обе альтернативные гипотезы H1 и H'1 сводятся к гипотезе
H»1 : m1m2, .
	Если условия а) и б) выполнены, статистика t при справедливости H»0 имеет распределение Стьюдента с (т + п - 2) степенями свободы. Только в этом случае описанный выше традиционный метод обоснован безупречно. Если хотя бы одно из условий а) и б) не выполнено, то нет никаких оснований считать, что статистика t имеет распределение Стьюдента, поэтому применение традиционного метода, строго говоря, не обосновано. Обсудим возможность проверки этих условий и последствия их нарушений.
	Имеют ли результаты наблюдений нормальное распределение? Как показано в главе 2.1, априори нет оснований предполагать нормальность распределения результатов экономических, технико-экономических, технических, медицинских и иных наблюдений. Следовательно, нормальность надо проверять. Разработано много статистических критериев для проверки нормальности распределения результатов наблюдений [1]. Однако проверка нормальности - более сложная и трудоемкая статистическая процедура, чем проверка однородности (как с помощью статистики t Стьюдента, так и с использованием непараметрических критериев, рассматриваемых ниже).
	Для достаточно надежного установления нормальности требуется весьма большое число наблюдений. В главе 2.1 показано: чтобы гарантировать, что функция распределения результатов наблюдений отличается от некоторой нормальной не более чем на 0,01 (при любом значении аргумента), требуется порядка 2500 наблюдений. В большинстве технических, экономических, медицинских и иных исследований число наблюдений существенно меньше.
	Как уже отмечалось, есть и одна общая причина отклонений от нормальности: любой результат наблюдения записывается конечным (обычно 2-5) количеством цифр, а с математической точки зрения вероятность такого события равна 0. Точнее, для случайной величины с непрерывной плотностью распределения вероятность попадания в счетное множество рациональных чисел равна 0. Следовательно, в статистических методах распределение результатов наблюдений практически всегда более или менее отличается от нормального распределения.  
	Последствия нарушения условия нормальности. Если условие а) не выполнено, то распределение статистики t не является распределением Стьюдента. Однако при справедливости H'0  и условия б) распределение статистики t при росте объемов выборок приближается к стандартному нормальному распределению Ф(х) = N(x; 0, 1). К этому же распределению приближается распределение Стьюдента при возрастании числа степеней свободы. Другими словами, несмотря на нарушение условия нормальности традиционный метод (критерий Стьюдента) можно использовать для проверки гипотезы H'0 при больших объемах выборок. При этом вместо таблиц распределения Стьюдента достаточно пользоваться таблицами стандартного нормального распределения Ф(х).
	Сформулированное в предыдущем абзаце утверждение справедливо для любых функций распределения F(x) и G(x) таких, что M(X) = M(Y), D(X) = D(Y) и выполнены некоторые внутриматематические условия, обычно считающиеся справедливыми в реальных задачах. Если же M(X)  M(Y), то нетрудно вычислить, что при больших объемах выборок
P(t<x)Ф(x-amn), 		 (5.2)
где
. 		(5.3)
Формулы (5.2) - (5.3) позволяют приближенно вычислять мощность t-критерия (точность возрастает при увеличении объемов выборок т и п).
	О проверке условия равенства дисперсий. Иногда условие б) вытекает из методики получения результатов наблюдений, например, когда с помощью одного и того же прибора или методики m раз измеряют характеристику первого объекта и п раз - второго, а параметры распределения погрешностей измерения при этом не меняются. Однако ясно, что в постановках большинства исследовательских и практических задач нет основании априори предполагать равенство дисперсий.
	Целесообразно ли проверять равенство дисперсий статистическими методами, например, как это иногда предлагают, с помощью F-критерия Фишера? Этот критерий основан на нормальности распределений результатов наблюдений. А от нормальности неизбежны отклонения (см. выше). Причем хорошо известно, что в отличие от t-критерия распределение F-критерия Фишера сильно меняется при малых отклонениях от нормальности [3]. Кроме того, F-критерий отвергает гипотезу D(X) = D(Y) лишь при большом различии выборочных дисперсий. Так, для данных [1] о двух группах результатов химических анализов отношение выборочных дисперсий равно 1,95, т.е. существенно отличается от 1. Тем не менее, гипотеза о равенстве теоретических дисперсий принимается на 1%-м уровне значимости. Следовательно, при проверке однородности применение F-критерия для предварительной проверки равенства дисперсий нецелесообразно.
	Итак, в большинстве технических, экономических, медицинских и иных задач условие б) нельзя считать выполненным, а проверять его нецелесообразно.
	Последствия нарушения условия равенства дисперсий. Если объемы выборок т и п велики, можно показать, что распределение статистики t описывается с помощью только математических ожиданий M(Х) и M(Y), дисперсий D(X), D(Y) и отношения объемов выборок, а именно:
P(t<x)Ф(bmnx-amn),		 (5.4)
где amn определено формулой (5.3),
.		(5.5)
	Если bmn  1, то распределение статистики t отличается от распределения, заданного формулой (5.2), полученной в предположении равенства дисперсий. Когда bmn=1? В двух случаях - при m = n и при D(X) = D(Y). Таким образом, при больших и равных объемах выборок требовать выполнения условия б) нет необходимости. Кроме того, ясно, что если объемы выборок мало различаются, то bmn близко к 1. Так, для данных [1] о двух группах результатов химических анализов имеем b*mn= 0,987, где b*mn - оценка bmn , полученная заменой в формуле (5.5) теоретических дисперсий на их выборочные оценки.  
	Область применимости традиционного метода проверки однородности с помощью критерия Стьюдента. Подведем итоги рассмотрения t-критерия. Он позволяет проверять гипотезу H'0 о равенстве математических ожиданий, но не гипотезу H0 о том, что обе выборки взяты из одной и той же генеральной совокупности. Классические условия применимости критерия Стьюдента в подавляющем большинстве технических, экономических, медицинских и иных задач не выполнены. Тем не менее, при больших и примерно равных объемах выборок его можно применять. При конечных объемах выборок традиционный метод носит неустранимо приближенный характер.
	Критерий Крамера-Уэлча равенства математических ожиданий. Вместо критерия Стьюдента целесообразно для проверки H'0  использовать критерий Крамера-Уэлча, основанный на статистике
. 		(5.6)
	Критерий Крамера-Уэлча имеет прозрачный смысл – разность выборочных средних арифметических для двух выборок делится на естественную оценку среднего квадратического отклонения этой разности. Естественность указанной оценки состоит в том, что неизвестные статистику дисперсии заменены их выборочными оценками. Из многомерной центральной предельной теоремы и из теорем о наследовании сходимости (см. главу 14) вытекает, что при росте объемов выборок  распределение статистики Т Крамера-Уэлча сходится к стандартному нормальному распределению с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Итак, при справедливости H'0 и больших объемах выборок распределение статистики Т приближается с помощью стандартного нормального распределения Ф(х), из таблиц которого следует брать критические значения.
	При т = п, как следует из формул (5.1) и (5.6), t = T. При т  п этого равенства нет. В частности, при sx2 в (5.1) стоит множитель (m - 1), а в (5.6) - множитель п.
	Если M(X)M(Y), то при больших объемах выборок
P(T<X)Ф(x-cmn),		 (5.7)
где
.		(5.8)
При т = п или D(X) = D(Y), согласно формулам (5.3) и (5.8), amn = cmn , в остальных случаях равенства нет.
	Из асимптотической нормальности статистики Т, формул (5.7) и (5.8) следует, что правило принятия решения для критерия Крамера-Уэлча выглядит так:
-	если |T|<, то гипотеза однородности (равенства) математических ожиданий принимается на уровне значимости 
-	если же |T|>, то гипотеза однородности (равенства) математических ожиданий отклоняется на уровне значимости .
	В прикладной статистике наиболее часто применяется уровень значимости  Тогда значение модуля статистики Т Крамера-Уэлча надо сравнивать с граничным значением  = 1,96.
	Из сказанного выше следует, что применение критерия Крамера-Уэлча не менее обосновано, чем применение критерия Стьюдента. Дополнительное преимущество - не требуется равенства дисперсий D(X)=D(Y). Распределение статистики Т не является распределением Стьюдента, однако и распределение статистики t, как показано выше, не является таковым в реальных ситуациях.
	Распределение статистики Т при объемах выборок т = п = 6, 8, 10, 12 и различных функциях распределений выборок F(x) и G(x) изучено нами совместно с Ю.Э. Камнем и Я.Э. Камнем методом статистических испытаний (Монте-Карло). Рассмотрены различные варианты функций распределения F(x) и G(x). Результаты показывают, что даже при таких небольших объемах выборок точность аппроксимации предельным стандартным нормальным распределением вполне удовлетворительна. Поэтому представляется целесообразным во всех тех случаях, когда в настоящее время используется критерий Стьюдента, заменить его на критерий Крамера-Уэлча. Конечно, такая замена потребует переделки ряда нормативно-технических и методических документов, исправления учебников и учебных пособий для вузов.
	Пример 1. Пусть объем первой выборки  Для второй выборки  Вычислим величину статистики Крамера-Уэлча 

	Поскольку полученное значение по абсолютной величине меньше 1,96, то гипотеза однородности математических ожиданий принимается на уровне значимости 0,05.
	Непараметрические методы проверки однородности. В большинстве технических, экономических, медицинских и иных задач представляет интерес не проверка равенства математических ожиданий или иных характеристик распределения, а обнаружение различия генеральных совокупностей, из которых извлечены выборки, т.е. проверка гипотезы H0. Методы проверки гипотезы H0 позволяют обнаружить не только изменение математического ожидания, но и любые иные изменения функции распределения результатов наблюдений при переходе от одной выборки к другой (увеличение разброса, появление асимметрии и т. д.). Как установлено выше, методы, основанные на использовании статистик t Стьюдента  и Т Крамера-Уэлча, не позволяют проверять гипотезу H0. Априорное предположение о принадлежности функций распределения F(x) и G(x) к какому-либо определенному параметрическому семейству (например, семействам нормальных, логарифмически нормальных, распределений Вейбулла-Гнеденко, гамма-распределений и др.), как также показано выше, обычно нельзя достаточно надежно обосновать. Поэтому для проверки H0 следует использовать методы, пригодные при любом виде F(x) и G(x), т.е. непараметрические методы. (Напомним: термин «непараметрический метод» означает, что при использовании этого метода нет необходимости предполагать, что функции распределения результатов наблюдений принадлежат какому-либо определенному параметрическому семейству.)
	Для проверки гипотезы H0  разработано много непараметрических методов - критерии Смирнова, типа омега-квадрат (Лемана - Розенблатта), Вилкоксона (Манна-Уитни), Ван-дер-Вардена, Сэвиджа, хи-квадрат и др. [1, 2, 4]. Распределения статистик всех этих критериев при справедливости H0 не зависят от конкретного вида совпадающих функций распределения F(x)  G(x). Следовательно, таблицами точных и предельных (при больших объемах выборок) распределений статистик этих критериев и их процентных точек [1, 2] можно пользоваться при любых непрерывных функциях распределения результатов наблюдений.
	Каким из непараметрических критериев пользоваться? Как известно [3], для выбора одного из нескольких критериев необходимо сравнить их мощности, определяемые видом альтернативных гипотез. Сравнению мощностей критериев посвящена обширная литература.
	Хорошо изучены свойства критериев при альтернативной гипотезе сдвига
H1c : G(x) = F(x - d), d  0.
Критерии Вилкоксона, Ван-дер-Вардена и ряд других ориентированы для применения именно в этой ситуации. Если m раз измеряют характеристику одного объекта и п раз - другого, а функция распределения погрешностей измерения произвольна, но не меняется при переходе от объекта к объекту (это более жесткое требование, чем условие равенства дисперсий), то рассмотрение гипотезы H1c оправдано. Однако в большинстве технических, экономических, медицинских и иных исследований нет оснований считать, что функции распределения, соответствующие выборкам, различаются только сдвигом.

5.3. Двухвыборочный критерий Вилкоксона  
 
	Покажем (и это - основной теоретический результат настоящего раздела), что двухвыборочный критерий Вилкоксона (в литературе его называют также критерием Манна-Уитни) предназначен для проверки гипотезы 
H0 :  P(X < Y) = 1/2,
где X - случайная величина, распределенная как элементы первой выборки, а Y - случайная величина, распределенная как элементы второй выборки. 
	В описанной выше вероятностной модели двух независимых выборок без ограничения общности можно считать, что объем первой из них не превосходит объема второй, m < n, в противном случае выборки можно поменять местами.  Обычно предполагается, что функции F(x) и G(x) непрерывны и строго возрастают. Из непрерывности этих функций следует, что с вероятностью 1 все m + n результатов наблюдений различны. При рассмотрении реальных статистических данных иногда наблюдаются совпадения результатов наблюдений, но сам факт их наличия - свидетельство нарушений предпосылок только что описанной базовой математической модели.
	Статистика S двухвыборочного критерия Вилкоксона определяется следующим образом. Все элементы объединенной выборки X1, X2, ..., Xm, Y1, Y2, ..., Yn упорядочиваются в порядке возрастания. Элементы первой выборки X1, X2, ..., Xm занимают в общем вариационном ряду места с номерами R1, R2, ..., Rm, другими словами, имеют ранги R1, R2, ..., Rm. 
	Тогда статистика Вилкоксона - это сумма рангов элементов первой выборки
S = R1 + R2 + ...+ Rm. 
Статистика U Манна-Уитни определяется как число пар (Xi, Yj) таких, что Xi< Yj, среди всех mn пар, в которых первый элемент - из первой выборки, а второй - из второй. Как известно [7, с.160],
U = mn + m(m+1)/2 - S.
Поскольку S и U линейно связаны, то часто говорят не о двух критериях - Вилкоксона и Манна-Уитни, а об одном - критерии Вилкоксона (Манна-Уитни).  
	Критерий Вилкоксона - один из самых известных инструментов непараметрической статистики (наряду с критериями на основе статистик типа Колмогорова-Смирнова, омега-квадрат и коэффициентами ранговой корреляции). Свойствам этого критерия и таблицам его критических значений уделяется место во многих монографиях по математической и прикладной статистике (см., например, [1, 2, 4]).
	Однако в литературе имеются и неточные утверждения относительно возможностей критерия Вилкоксона. Так, одни полагают, что с его помощью можно обнаружить любое различие между функциями распределения F(x) и G(x). По мнению других, этот критерий нацелен на проверку равенства медиан распределений, соответствующих выборкам. И то, и другое, строго говоря, неверно. Это будет ясно из дальнейшего изложения. 
	Введем некоторые обозначения. Пусть F-1(t) - функция, обратная к функции распределения F(x). Она определена на отрезке [0; 1]. Положим L(t) = G(F-1(t)). Поскольку F(x) непрерывна и строго возрастает, то F-1(t) и L(t) обладают теми же свойствами. Важную роль в дальнейшем изложении будет играть величина a = P(X < Y). Как нетрудно показать, 

Введем также параметры

Тогда математические ожидания и дисперсии статистик Вилкоксона и Манна-Уитни согласно [4, с.160] выражаются через введенные величины:
М(U) = mna , М(S) = mn + m(m+1)/2 - М(U) = mn(1 - a) + m(m+1)/2,
D(S) = D(U) = mn [(n - 1) b2  + (m - 1) g2 + a(1 -a)].	 (5.9)  
	Когда объемы обеих выборок безгранично растут, распределения статистик Вилкоксона и Манна-Уитни являются асимптотически нормальными (см., например, [4, гл. 5 и 6]) с параметрами, задаваемыми формулами (5.9).
	Если выборки полностью однородны, т.е. их функции распределения совпадают, справедлива гипотеза
H0:   F(x) = G(x) при всех x,		(5.10)
то L(t) = t для t из отрезка [0, 1], L(t)= 0 для всех отрицательных t и L(t)= 1 для t > 1, соответственно a= 1/2. Подставляя в формулы (5.9), получаем, что
М(S) =  m(m+n+1)/2,   D(S) =  mn(m+n+1)/12.		(5.11)
Следовательно, распределение нормированной и центрированной статистики Вилкоксона
T = (S - m(m+n+1)/2) (mn(m+n+1)/12)-1/2		(5.12) 
при росте объемов выборок приближается к стандартному нормальному распределению (с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1). 
	Из асимптотической нормальности статистики Т следует, что правило принятия решения для критерия Вилкоксона выглядит так:
	- если |T| < , то гипотеза (5.10) однородности (тождества) функций распределений принимается на уровне значимости 
	- если же |T| > , то гипотеза (5.10) однородности (тождества) функций распределений отклоняется на уровне значимости .
	В прикладной статистике наиболее часто применяется уровень значимости  Тогда значение модуля статистики Т Вилкоксона надо сравнивать с граничным значением=1,96.
	Пример 1. Пусть даны две выборки. Первая содержит m = 12 элементов 17; 22; 3; 5; 15; 2; 0; 7; 13; 97; 66; 14. Вторая содержит n=14 элементов 47; 30; 2; 15; 1; 21; 25; 7; 44; 29; 33; 11; 6; 15. Проведем проверку однородности функций распределения двух выборок с помощью критерия Вилкоксона.
	Первым шагом является построение общего вариационного ряда для элементов двух выборок (табл. 5.1).

Таблица 5.1 
Общий вариационный ряд для элементов двух выборок
Ранги	1	2	3,5	3,5	5	6	7	8,5	8,5	10	11	12	14	
Элементы выборок	0	1	2	2	3	5	6	7	7	11	13	14	15	
Номера выборок	1	2	1	2	1	1	2	1	2	2	1	1	1	
Ранги	14	14	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	
Элементы выборок	15	15	17	21	22	25	29	30	33	44	47	66	97	
Номера выборок	2	2	1	2	1	2	2	2	2	2	2	1	1	

	Хотя с точки зрения теории математической статистики вероятность совпадения двух элементов выборок равна 0, в реальных выборках статистических данных совпадения встречаются. Так, в рассматриваемых выборках, как видно из табл. 5.1, два раза повторяется величина 2, два раза - величина 7 и три раза - величина 15. В таких случаях говорят о наличии «связанных рангов», а соответствующим совпадающим величинам приписывают среднее арифметическое тех рангов, которые они занимают. Так, величины 2 и 2 занимают в объединенной выборке места 3 и 4, поэтому им приписывается ранг (3+4)/2=3,5. Величины 7 и 7 занимают в объединенной выборке места 8 и 9, поэтому им приписывается ранг (8+9)/2=8,5. Величины 15, 15 и 15 занимают в объединенной выборке места 13, 14 и 15, поэтому им приписывается ранг (13+14+15)/3=14.
	Следующий шаг - подсчет значения статистики Вилкоксона, т.е. суммы рангов элементов первой выборки
S = R1 + R2 + ...+ Rm = 1+3,5+5+6+8,5+11+12+14+16+18+25+26=146.
Подсчитаем также сумму рангов элементов второй выборки
S1 = 2+3,5+7+8,5+10+14+14+17+19+20+21+22+23+24= 205.
Величина S1 может быть использована для контроля вычислений. Дело в том, что суммы рангов элементов первой выборки S  и второй выборки S1  вместе составляют сумму рангов объединенной выборки, т.е. сумму всех натуральных чисел от 1 до m+n. Следовательно,
S+ S1 = (m+n)(m+n+1)/2= (12+14)(12+14+1)/2= 351.
В соответствии с ранее проведенными расчетами S+S1 = 146+205=351. Необходимое условие правильности расчетов выполнено. Ясно, что справедливость этого условия не гарантирует правильности расчетов.
	Перейдем к расчету статистики Т. Согласно формуле (5.11)
М(S) = 12(12+14+1)/ 2 = 162, D(S) = 12.14(12+14+1) / 12= 378.
Следовательно, 
T = (S - 162) (378)-1/2 = (146-162) / 19,44 = - 0,82.
Поскольку |T| < 1,96, то гипотеза однородности принимается на уровне значимости 0,05.
	Что будет, если поменять выборки местами, вторую назвать первой? Тогда вместо S надо рассматривать S1. Имеем 
М(S1) = 14(12+14+1)/2 = 189, D(S) = D(S1) = 378,
T1 = (S1 - 189) (378)-1/2 = (205-162) / 19,44 = 0,82.
Таким образом, значения статистики критерия отличаются только знаком (можно показать, что это утверждение верно всегда). Поскольку в правиле принятия решения используется только абсолютная величина статистики, то принимаемое решение не зависит от того, какую выборку считаем первой, а какую второй. Для уменьшения объема таблиц критических значений принято считать первой выборку меньшего объема. 
	Продолжим обсуждение критерия Вилкоксона. Правила принятия решений и таблицы критических значений для критерия Вилкоксона строятся в предположении справедливости гипотезы полной однородности, описываемой формулой (5.10). А что будет, если эта гипотеза неверна? Другими словами, какова мощность критерия Вилкоксона?
	Пусть объемы выборок достаточно велики, так что можно пользоваться асимптотической нормальностью статистики Вилкоксона. Тогда в соответствии с формулами (5.9) статистика T будет асимптотически нормальна с параметрами
М(T) = (12mn)1/2 (1/2 - a) (m+n+1)-1/2 ,
D(T) = 12 [(n - 1) b2 + (m - 1) g2 + a(1 -a)] (m+n+1)-1.	  (5.13) 
 	Из формул (5.13) видно большое значение гипотезы
H01: a = P(X < Y) = 1/2. 	(5.14)
Если эта гипотеза неверна, то, поскольку m < n, справедлива оценка 
 |M(T)| > (12m n (2n+1)-1)1/2 |1/2 - a|,
а потому |M(T)| безгранично растет при росте объемов выборок. В то же время, поскольку

то 
D(T) < 12 [(n - 1) + (m - 1) + 1/4] (m+n+1)-1 < 12. 	 (5.15) 
Следовательно, вероятность отклонения гипотезы H01, когда она неверна, т.е. мощность критерия Вилкоксона как критерия проверки гипотезы (5.14), стремится к 1 при возрастании объемов выборок, т.е. критерий Вилкоксона является состоятельным для этой гипотезы при альтернативе
АH01 : a = P(X < Y)  1/2. 	 (5.16)
	Если же гипотеза (5.14) верна, то статистика T асимптотически нормальна с математическим ожиданием 0 и дисперсией, определяемой формулой 
D(T) = 12[(n - 1)b2  + (m - 1)g2 + 1/4](m+n+1)-1.  (5.17) 
Гипотеза (5.14) является сложной, дисперсия (5.17), как показывают приводимые ниже примеры, в зависимости от значений b2 и g2 может быть как больше 1, так и меньше 1, но согласно неравенству (5.15) никогда не превосходит 12. 
	Приведем пример двух функций распределения F(x) и G(x) таких, что гипотеза (5.14) выполнена, а гипотеза (5.10) - нет. Поскольку
a = P(X < Y) = ,  1 - a = P(Y < X) = 	(5.18) 
и a = 1/2 в случае справедливости гипотезы (5.10), то для выполнения условия (5.14) необходимо и достаточно, чтобы
,		(5.19) 
а потому естественно в качестве F(x) рассмотреть функцию равномерного распределения на интервале (-1; 1). Тогда формула (5.19) переходит в условие
 
Это условие выполняется, если функция (G(x) - (x + 1)/2) является нечетной. 
	Пример 2. Пусть функции распределения F(x) и G(x) сосредоточены на интервале (-1; 1), на котором
 F(x) = (x + 1)/2, G(x) = (x + 1 + 1/ sinx)/2.
Тогда
x=F-1(t)=2t-1, L(t)=G(F-1(t))=(2t+1/sin(2t-1))/2=t+1/2sin(2t-1).
Условие (5.19) выполнено, поскольку функция (G(x) - (x + 1)/2) является нечетной. Следовательно, a = 1/2. Начнем с вычисления 
g2 =  - 1/4 = 
Поскольку 

то

С помощью замены переменных t = (x +1) / 2 получаем, что 

В правой части последнего равенства стоят табличные интегралы (см., например, справочник [5, с.71]). Проведя соответствующие вычисления, получаем, что в правой части стоит 
1/8 (-4/2) = -1/(22).
Следовательно,
g2 = 1/12 - 1/(22) = 0,032672733...
	Перейдем к вычислению b2. Поскольку

то

С помощью замены переменных t = (x+1)/2 переходим к табличным интегралам (см., например, справочник [5, с.65]):

Проведя необходимые вычисления, получим, что

	Следовательно, для рассматриваемых функций распределения нормированная и центрированная статистика Вилкоксона (см. формулу (5.12)) асимптотически нормальна с математическим ожиданием 0 и дисперсией (см. формулу (5.17))
D(T) = (0,544 n + 0,392 m + 2,064) (m+n+1)-1.   
Как легко видеть, дисперсия всегда меньше 1. Это значит, что в рассматриваемом случае гипотеза полной однородности (5.10) при проверке с помощью критерия Вилкоксона будет приниматься чаще, чем если она на самом деле верна. 
	На наш взгляд, это означает, что критерий Вилкоксона нельзя считать критерием для проверки гипотезы (5.10) при альтернативе общего вида. Он не всегда позволяет проверить однородность - не при всех альтернативах. Точно так же критерии типа хи-квадрат нельзя считать критериями проверки гипотез согласия и однородности - они позволяют обнаружить не все различия, поскольку некоторые из них «скрадывает» группировка. 
	Обсудим теперь, действительно ли критерий Вилкоксона нацелен на проверку равенства медиан распределений, соответствующих выборкам. 
	Пример 3. Построим семейство пар функций распределения F(x) и G(x) таких, что их медианы различны, но для F(x) и G(x) выполнена гипотеза (5.14). Пусть распределения сосредоточены на интервале (0; 1), и на нем G(x) = x , а F(x) имеет кусочно-линейный график с вершинами в точках (0; 0), (; 1/2), (; 3/4), (1; 1). Следовательно, 
F(x) = 0 при x < 0;
F(x) = x/(2) на [0; );
F(x) = 1/2 + (x - )/(4 - 4) на [; );
F(x) = 3/4 + (x - )/(4 - 4) на [; 1];
F(x) = 1 при x > 1.
Очевидно, что медиана F(x) равна , а медиана G(x) равна 1/2 .
	Согласно соотношению (5.17) для выполнения гипотезы (5.14) достаточно определить  как функцию , т.е.  = (), из условия 

Вычисления дают 
 = () = 3(1 - )/2.
 Учитывая, что  лежит между  и 1, не совпадая ни с тем, ни с другим, получаем ограничения на , а именно, 1/3 <  < 3/5 . Итак, построено искомое семейство пар функций распределения. 
	Пример 4. Пусть, как и в примере 3, распределения сосредоточены на интервале (0; 1), и на нем F(x)=x. А G(x) - функция распределения, сосредоточенного в двух точках -  и 1. Т.е. G(x) = 0 при x, не превосходящем ; G(x) = h на (; 1]; G(x) = 1 при x > 1. С такой функцией G(x) легко проводить расчеты. Однако она не удовлетворяет принятым выше условиям непрерывности и строгого возрастания. Вместе с тем легко видеть, что она является предельной (сходимость в каждой точке отрезка [0; 1]) для последовательности функций распределения, удовлетворяющих этим условиям. А распределение статистики Вилкоксона для пары функций распределения примера 4 является предельным для последовательности соответствующих распределений статистики Вилкоксона, полученных в рассматриваемых условиях непрерывности и строгого возрастания.
	Условие P(X < Y) = 1/2 выполнено, если h = (1 -)-1/2 (при  из отрезка [0; 1/2]). Поскольку h > 1/2 при положительном , то очевидно, что медиана G(x) равна , в то время как медиана F(x) равна 1/2 . Значит, при  = 1/2 медианы совпадают, при всех иных положительных  - различны. При  = 0 медианой G(x) является любая точка из отрезка [0; 1].
	Легко подсчитать, что в условиях примера 4 параметры предельного распределения имеют вид
b2 = (1- )-1/4 , g2 = (1- 2)/4.
Следовательно, распределение нормированной и центрированной статистики Вилкоксона будет асимптотически нормальным с математическим ожиданием 0 и дисперсией
D(T) = 3 [(n-1) (1- )-1 + (m-1) (1-2) + 1] (m+n+1)-1.   
	Проанализируем величину D(T) в зависимости от параметра  и объемов выборок m и n. При достаточно больших m и n
D(T) = 3w(1 - )-1 + 3(1 - w)(1 - 2)
с точностью до величин порядка (m+n)-1, где w= n/(m+n). Значит, D(T) - линейная функция от w, а потому достигает экстремальных значений на границах интервала изменения w, т.е. при w = 0 и w = 1. Легко видеть, что при (1-)-1 <1-2 минимум равен 3(1-)-1 (при w = 1), а максимум равен 3(1 - 2) (при w = 0). В случае (1-)-1 >1-2 максимум равен 3(1-)-1 (при w = 1), а минимум равен 3(1 - 2) (при w = 0). Если же (1-)-1 =1-2 (это равенство справедливо при =0 = 1 - 2-1/2 = 0,293), то D(T) = 3(21/2-1) = 1,2426... при всех w из отрезка [0; 1]. 
	Первый из описанных выше случаев имеет быть при  < 0. При этом минимум D(T) возрастает от 0 (при =0, w=1 - предельный случай) до 3(21/2 - 1) (при =0, w - любом), а максимум уменьшается от 3 (при =0, w=0 - предельный случай) до 3 (21/2 - 1) (при =0, w - любом). Второй случай относится к  из интервала (0; 1/2]. При этом минимум убывает от приведенного выше значения для =0 до 0 (при =1/2, w=0 - предельный случай) , а максимум возрастает от того же значения при =0 до 3 (при =1/2 , w=0).
	Таким образом, D(T) может принимать все значения из интервала (0; 3) в зависимости от значений  и w. Если D(T) < 1, то при применении критерия Вилкоксона к выборкам с рассматриваемыми функциями распределения гипотеза однородности (5.10) будет приниматься чаще (при соответствующих значениях  и w - с вероятностью, сколь угодно близкой к 1), чем если бы она самом деле была верна. Если 1 < D(T) < 3, то гипотеза (5.10) также принимается достаточно часто. Так, если уровень значимости критерия Вилкоксона равен 0,05, то (асимптотическая) критическая область этого критерия, как показано выше, имеет вид {T: |T| > 1,96}. Если - самый плохой случай - D(T) = 3, то гипотеза (5.10) принимается с вероятностью 0,7422.
	Гипотеза сдвига. При проверке гипотезы однородности мы рассмотрели различные виды нулевых и альтернативных гипотез - гипотезу (5.10) и ее отрицание в качестве альтернативы, гипотезу (5.14) и ее отрицание, гипотезы о равенстве или различии медиан. В теоретических работах по математической статистике часто рассматривают гипотезу сдвига, в которой альтернативой гипотезе (5.10) является гипотеза 
H1:  F(x) = G(x + r) 		(5.20)
при всех x и некотором сдвиге r, отличным от 0. Если верна альтернативная гипотеза H1, то вероятность P(X < Y) отлична от 1/2, а потому при альтернативе (5.20) критерий Вилкоксона является состоятельным. 
	В некоторых прикладных постановках гипотеза (5.20) представляется естественной. Например, если одним и тем же прибором проводятся две серии измерений двух значений некоторой величины (физической, химической и т.п.). При этом функция распределения G(x) описывает погрешности измерения одного значения, а G(x+r) - другого. Вопреки распространенному заблуждению, хорошо известно, что распределение погрешностей измерений, как правило, не является нормальным (см. об этом главу 2.1). 
	Однако при анализе конкретных социально-экономических данных и статистических данных из других предметных областей, как правило, нет никаких оснований считать, что отсутствие однородности всегда выражается столь однозначным образом, как следует из формулы (5.20). Поэтому для проверки однородности необходимо использовать статистические критерии, состоятельные против любого отклонения от гипотезы однородности (5.10).
	Математики любят гипотезу сдвига (5.20) потому, что она дает возможность доказывать глубокие математические результаты, например, об асимптотической оптимальности критериев. К сожалению, с точки зрения теории статистики это напоминает поиск ключей под фонарем, где светло, а не в кустах, где они потеряны. 
	Отметим еще одно обстоятельство. Часто говорят (в соответствии с классическим подходом математической статистики), что нельзя проверять нулевые гипотезы без рассмотрения альтернативных. Однако при анализе данных, полученных в ходе технических, экономических, медицинских или иных исследований, зачастую полностью ясна формулировка той гипотезы, которую желательно проверить (например, гипотезы полной однородности - см. формулу (5.10)), в то время как формулировка альтернативной гипотезы не очевидна. То ли это гипотеза о неверности равенства (5.10) хотя бы для одного значения x, то ли это альтернатива (5.16), то ли - альтернатива сдвига (5.20), и т. д. В таких случаях целесообразно «обернуть» задачу - исходя из статистического критерия найти альтернативы, относительно которых он состоятелен. Именно это и проделано в настоящем разделе для критерия Вилкоксона.  
	Подведем итоги рассмотрения критерия Вилкоксона.  
	1. Критерий Вилкоксона (Манна-Уитни) - один из самых распространенных непараметрических ранговых критериев, используемых для проверки однородности двух выборок. Его значение не меняется при любом монотонном преобразовании шкалы измерения (т.е. он пригоден для статистического анализа данных, измеренных в порядковой шкале).
	2. Распределение статистики критерия Вилкоксона определяется функциями распределения F(x) и G(x) и объемами m и n двух выборок. При больших объемах выборок распределение статистики Вилкоксона является асимптотически нормальным с параметрами, выписанными выше (см. формулы (5.9), (5.11) и (5.13)). 
	3. При альтернативной гипотезе, когда функции распределения выборок F(x) и G(x) не совпадают, распределение статистики Вилкоксона зависит от величины a = P(X < Y). Если a отличается от 1/2, то мощность критерия Вилкоксона стремится к 1, и он отличает нулевую гипотезу F = G от альтернативной. Если же a = 1/2, то это не всегда имеет место. В примере 2 приведены две различные функции распределения выборок F(x) и G(x) такие, что гипотеза однородности F  G при проверке с помощью критерия Вилкоксона будет приниматься чаще, чем если бы она на самом деле была верна. 
	4. Следовательно, в случае общей альтернативы критерий Вилкоксона не является состоятельным, т.е. не всегда позволяет обнаружить различие функций распределения. Однако это не лишает его практической ценности, точно так же, как несостоятельность критериев типа хи-квадрат при проверке согласия, независимости или однородности не мешает отклонять нулевую гипотезу во многих практически важных случаях. Однако принятие нулевой гипотезы с помощью критерия Вилкоксона может означать не совпадение F и G, а лишь выполнение равенства a = 1/2.
	5. Иногда утверждают, что с помощью критерия Вилкоксона можно проверять равенство медиан функций распределения F и G. Это не так. В примерах 3 и 4 указаны функции распределения F и G с a = 1/2, но с различными медианами. Во многих случаях это различие нельзя обнаружить с помощью критерия Вилкоксона, как это показано при численном анализе асимптотической дисперсии в примере 4. 
	6. Указанные выше недостатки критерия Вилкоксона исчезают для специального вида альтернативы - т.н. «альтернативы сдвига» H1: F(x) = G(x + r). В этом частном случае при справедливости альтернативной гипотезы мощность стремится к 1, различие медиан также всегда обнаруживается. Однако альтернатива сдвига не всегда естественна. Ее целесообразно принять, если одним и тем же прибором проводятся две серии измерений двух значений некоторой величины (физической, химической и т.п.). При этом функция распределения G(x) описывает результаты измерений (с погрешностями) одного значения, а F(x) = G(x+r) - другого. Другими словами, меняется лишь измеряемое значение, а собственно распределение погрешностей - одно и то же, присущее используемому средству измерения (и обычно описанное в его техническом паспорте). Однако в большинстве прикладных статистических исследований нет никаких оснований считать, что при альтернативе функция распределения второй выборки лишь сдвигается, но не меняется каким-либо иным образом. 
	7. При всех своих недостатках критерий Вилкоксона прост в применении и часто позволяет обнаруживать различие групп (поскольку оно часто сводится к отличию a = P(X < Y) от 1/2 ). Приведенные здесь критические замечания не следует понимать как призыв к полному отказу от использования критерия Вилкоксона. Однако для проверки гипотезы однородности в случае альтернативы общего вида можно порекомендовать состоятельные критерии, в частности, рассматриваемые в следующем разделе критерии Смирнова и типа омега-квадрат (Лемана-Розенблатта).
	8. В литературе по прикладным статистическим методам соседствуют два стиля изложения. Один из них исходит из формулировок нулевой и альтернативных гипотез (или описания набора гипотез, из которого надо выбрать наиболее адекватную), для проверки которых строятся те или иные критерии. При другом стиле изложения упор делается на алгоритмическое описание критериев для проверки тех или иных нулевых гипотез, а об альтернативах даже не упоминается. 
	Например, в литературе по математической статистике часто говорится, что для проверки нормальности используются критерии асимметрии и эксцесса (они описаны, например, в главе 2.3 и в лучшем справочнике 1960-1980-х годов [1, табл. 4.7]). Однако эти критерии позволяют проверять некоторые соотношения между моментами распределения, но отнюдь не являются состоятельными критериями нормальности (не все отклонения от нормальности обнаруживают). Впрочем, для прикладной статистики эти критерии большого практического значения не имеют, поскольку заранее известно, что распределения конкретных технических, экономических, медицинских и иных статистических данных скорее всего отличны от нормальных.
	Недостатки критерия Вилкоксона не являются исключением. Мощность ряда иных популярных в математической статистике критериев заслуживает тщательного изучения. При этом заранее можно сказать, что зачастую они не позволяют проверять те гипотезы, с которыми традиционно связаны. При применении подобных критериев к анализу реальных данных необходимо тщательно взвешивать их достоинства и недостатки.
 
5.4. Состоятельные критерии проверки однородности 
независимых выборок
 
	В соответствии с методологией статистических методов естественно потребовать, чтобы рекомендуемый для массового использования в технических, экономических, медицинских и иных исследованиях критерий однородности был состоятельным. Напомним: это значит, что для любых отличных друг от друга функций распределения F(x) и G(x) (другими словами, при справедливости альтернативной гипотезы H1) вероятность отклонения гипотезы H0 должна стремиться к 1 при увеличении объемов выборок т и п. Из перечисленных выше (в конце раздела 5.2) критериев однородности состоятельными являются только критерии Смирнова и типа омега-квадрат. 
	Проведенное в Институте высоких статистических технологий и эконометрики исследование мощности (методом статистических испытаний) первых четырех из перечисленных выше критериев (при различных вариантах функций распределения F(x) и G(x)) подтвердило преимущество критериев Смирнова и омега-квадрат и при объемах выборок 6-12. Рассмотрим эти критерии подробнее.
	Критерий Смирнова однородности двух независимых выборок. Он предложен членом-корреспондентом АН СССР Н.В. Смирновым в 1939 г. (см. справочник [1]). Единственное ограничение - функции распределения F(x) и G(x) должны быть непрерывными. Согласно Л.Н. Большеву и Н.В. Смирнову [1], значение эмпирической функции распределения в точке х равно доле результатов наблюдений в выборке, меньших х. Критерий Смирнова основан на использовании эмпирических функций распределения Fm(x) и Gn(x), построенных по первой и второй выборкам соответственно. Значение статистики Смирнова

сравнивают с соответствующим критическим значением (см., например, [1]) и по результатам сравнения принимают или отклоняют гипотезу Н0 о совпадении (однородности) функций распределения. Практически значение статистики Dm,п рекомендуется согласно монографии [1] вычислять по формулам
,
,
,
где x'1 < x'2 < … < x'm - элементы первой выборки x1, x2, …, xm, переставленные в порядке возрастания, а y'1 <y'2 < … < y'n - элементы второй выборки y1, y2, …, yn, также переставленные в порядке возрастания. Поскольку функции распределения F(x) и G(x) предполагаются непрерывными, то вероятность совпадения каких-либо выборочных значений равна 0.
	Разработаны алгоритмы и программы для ЭВМ, позволяющие рассчитывать точные распределения, процентные точки и достигаемый уровень значимости для двухвыборочной статистики Смирнова , разработаны подробные таблицы (см., например, методику Института высоких статистических технологий и эконометрики  МГТУ им. Н.Э. Баумана, содержащую описание алгоритмов, тексты программ и подробные таблицы).
	Однако у критерия Смирнова есть и недостатки. Его распределение сосредоточено в сравнительно небольшом числе точек, поэтому функция распределения растет большими скачками. В результате не удается выдержать заданный уровень значимости. Реальный уровень значимости может в несколько раз отличаться от номинального (подробному обсуждению неклассического феномена существенного отличия реального уровня значимости от номинального посвящен раздел 5.7 ниже).
	Критерий типа омега-квадрат (Лемана-Розенблатта). Статистика критерия типа омега-квадрат для проверки однородности двух независимых выборок имеет вид:
A = Fm(x) – Gn(x))2 dHm+n(x) ,
где Hm+n(x) – эмпирическая функция распределения, построенная по объединенной выборке. Легко видеть, что
Hm+n(x) = Fm(x) + Gn(x).
	Статистика A типа омега-квадрат предложена Э. Леманом в 1951 г., изучена М. Розенблаттом в 1952 г., а затем и другими исследователями. Она зависит лишь от рангов элементов двух выборок в объединенной выборке. Пусть  - первая выборка,  - соответствующий вариационный ряд,  - вторая выборка,  - вариационный ряд, соответствующий второй выборке. Поскольку функции распределения независимых выборок непрерывны, то с вероятностью 1 все выборочные значения различны, совпадения отсутствуют. Статистика А представляется в виде (см., например, [1]):

где ri - ранг x'i и sj  - ранг y'j  в общем вариационном ряду, построенном по объединенной выборке. 
	Правила принятия решений при проверке однородности двух выборок на основе статистик Смирнова и типа омега-квадрат, т.е. таблицы критических значений в зависимости от уровней значимости и объемов значимости приведены, например, в таблицах [1]. 
	Рекомендации по выбору критерия однородности. Для критерия типа омега-квадрат нет выраженного эффекта различия между номинальными и реальными уровнями значимости. Поэтому мы рекомендуем для проверки однородности функций распределения (гипотеза H0) применять статистику А типа омега-квадрат. Если методическое, табличное или программное обеспечение для статистики Лемана - Розенблатта отсутствует, рекомендуем использовать критерий Смирнова. Для проверки однородности математических ожиданий (гипотеза H'0) целесообразно применять критерий Крамера-Уэлча. По нашему мнению, статистики Стьюдента, Вилкоксона и другие допустимо использовать лишь в отдельных частных случаях, рассмотренных выше.
	Некоторые соображения о внедрении современных методов прикладной статистики в практику технических, экономических, медицинских и иных исследований. Даже из проведенного выше разбора лишь одной из типичных статистических задач - задачи проверки однородности двух независимых выборок - можно сделать вывод о целесообразности широкого развертывания работ по критическому анализу сложившейся практики статистической обработки данных и по внедрению накопленного арсенала современных методов прикладной статистики. Широкого внедрения заслуживают методы многомерного статистического анализа, планирования эксперимента, статистики объектов нечисловой природы. Очевидно, рассматриваемые работы должны быть плановыми, организационно оформленными, проводиться мощными самостоятельными организациями и подразделениями. Целесообразно создание службы статистических консультаций в системе научно-исследовательских учреждений и вузов технического, управленческого, экономического, медицинского профиля.

5.5. Методы проверки однородности связанных выборок
 
	Начнем с практического примера. Приведем письмо главного инженера подмосковного химического комбината (некоторые названия изменены).

«Директору Института высоких статистических технологий 
и эконометрики (Фамилия, имя, отчество)

	Наш комбинат выпускает мастику по ГОСТ (следует номер) и является разработчиком указанного стандарта. 
	В результате исследовательских работ по подбору стандартного метода определения вязкости мастики на комбинате накоплен большой опыт сравнительных данных определения вязкости по двум методам:
	- неразбавленной мастики - на нестандартном приборе фабрики им. А.А. Петрова;
	- раствора мастики - на стандартном вискозиметре ВЗ-4.
	Учитывая высокую компетентность сотрудников Вашего института, прошу Вас, в порядке оказания технической помощи нашему предприятию, поручить соответствующей лаборатории провести обработку представленных данных современными статистическими методами и выдать заключение о наличии (или отсутствии) зависимости между указанными выше методами определения вязкости мастики. Ваше заключение необходимо для решения спорного вопроса о целесообразности вновь ввести в ГОСТ (следует номер) метода определения вязкости мастики по вискозиметру ВЗ-4, который, по мнению некоторых потребителей, был необоснованно исключен из этого ГОСТ по изменению № 1.
	Заранее благодарю Вас за оказанную помощь.
	
	Приложение: статистика на 3 листах.
	
	Главный инженер (Подпись) (Фамилия, имя, отчество)»

	Комментарий. Вязкость мастики - один из показателей качества мастики. Измерять этот показатель можно по-разному. Разные способы измерения дают разные результаты. Ничего необычного в этом нет. Однако поставщику и потребителю следует согласовать способы измерения показателей качества. Иначе достаточно часто поставщик (производитель) будет утверждать, что он выполнил условия контракта, а потребитель заявлять, что нет. Такая конфликтная ситуация иногда называется арбитражной, поскольку для ее решения стороны могут обращаться в арбитражный суд. Простейший метод согласования способов измерения показателей состоит в том, чтобы выбрать один из них и внести в государственный стандарт, который тем самым будет содержать не только описание продукции, перечень ее показателей качества и требований к ним, но и способы измерения этих показателей.
	Заключение по статистическим данным, представленным химическим комбинатом. Для каждой из 213 партий мастики представлены два числа - результат измерения вязкости на нестандартном приборе фабрики им. А.А. Петрова и результат измерения вязкости на стандартном вискозиметре ВЗ-4. Требуется установить, дают ли два указанных метода сходные результаты. Если они дают сходные результаты, нет необходимости вводить в соответствующий ГОСТ требование об обязательном использовании определенного метода определения вязкости. Если же методы дают существенно различные результаты, то подобное требование ввести необходимо.
	Для применения статистических методов в рассматриваемой задаче необходимо описать вероятностную модель. Считаем, что статистические данные имеют вид 

где xi  -результат измерения на нестандартном приборе фабрики им. А.А. Петрова в i-ой партии, а yi - результат измерения вязкости на стандартном вискозиметре ВЗ-4 в той же i-ой партии. 
	Пусть ai - истинное значение показателя качества в i-ой партии. Естественно считать, что указанные выше случайные вектора независимы в совокупности. При этом они не являются одинаково распределенными, поскольку отличаются истинными значениями показателей качества ai. 
	Принимаем, что при каждом i случайные величины xi - ai  и yi - ai независимы и одинаково распределены. Это условие и означает однородность в связанных выборках. Параметры связи - величины ai . Их наличие не позволяет объединить первые координаты в одну выборку, вторую - во вторую, как делалось в случае проверки однородности двух независимых выборок.
	В предположении непрерывности функций распределения из условия однородности в связанных выборках вытекает, что 

	Рассмотрим случайные величины  Из последнего соотношения вытекает, что при справедливости гипотезы однородности для связанных выборок эти случайные величины имеют нулевые медианы. Другими словами, проверка того, что два метода измерения вязкости дают схожие результаты, эквивалентна проверке равенства 0 медиан величин Zi.
	Для проверки гипотезы о том, что медианы величин Zi нулевые, применим широко известный критерий знаков (см., например, справочник [1, с.89-91]). Согласно этому критерию необходимо подсчитать, в скольких партиях и в скольких . Для представленных химическим комбинатом данных  в 187 случаях из 213 и  в 26 случаях из 213.
	Если рассматриваемая гипотеза верна, то число W осуществлений события  имеет биномиальное распределение с параметрами p = 1/2 и n = 213. Математическое ожидание М(W) = 106,5, а среднее квадратическое отклонение  Следовательно, интервал  - это интервал 84 < W< 129. Найденное по данным химического комбината значение W = 187 лежит далеко вне этого интервала. Поэтому рассматриваемую гипотезу необходимо отвергнуть (на любом используемом в прикладных работах уровне значимости, в частности, на уровне значимости 1%).
	Таким образом, статистический анализ показывает, что два метода дают существенно различные результаты - по прибору фабрики им. А.А. Петрова результаты измерений, как правило, меньше, чем по вискозиметру ВЗ-4. Это означает, что в соответствующий ГОСТ целесообразно ввести указание на метод определения вязкости.
	Система вероятностных моделей при проверке гипотезы однородности связанных выборок. Как и в случае проверки однородности независимых выборок, система вероятностных моделей состоит из трех уровней. Наиболее простая модель - на уровне однородности альтернативного признака - уже рассмотрена. Она сводится к проверке гипотезы о значении параметра биномиального распределения:

	Речь идет о «критерии знаков». При справедливости гипотезы однородности число W осуществлений события  имеет биномиальное распределение с вероятностью успеха p = 1/2 и числом испытаний n. Альтернативная гипотеза состоит в том, что вероятность успеха отличается от 1/2:

Гипотезу p = 1/2 можно проверять как непосредственно с помощью биномиального распределения (используя таблицы или программное обеспечение), так и опираясь на теорему Муавра-Лапласа. Согласно этой теореме 

при всех х, где Ф(х) - функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1.
	Из теоремы Муавра-Лапласа вытекает правило принятия решений на уровне значимости 5%: если

то гипотезу однородности связанных выборок принимают, в противном случае отклоняют. 
	Как обычно, при желании использовать другой уровень значимости применяют в качестве критического значения иную квантиль нормального распределения. Использование предельных теорем допустимо при достаточно больших объемах выборки. По поводу придания точного смысла термину «достаточно большой» продолжаются дискуссии. Обычно считается, что несколько десятков (два-три десятка) - это уже «достаточно много». Более правильно сказать, что ответ зависит от конкретной задачи, от ее сложности и практической значимости. 
	Второй уровень моделей проверки однородности связанных выборок - это уровень проверки однородности характеристик, прежде всего однородности математических ожиданий. Исходные данные - количественные результаты измерений (наблюдений, испытаний, анализов, опытов) двух признаков хj и уj , j = 1,2,…,n, а непосредственно анализируются их разности Zj = хj  - уj , j = 1,2,…,n. Предполагается, что эти разности независимы в совокупности и одинаково распределены, однако функция распределения неизвестна статистику. 
	Необходимо проверить непараметрическую гипотезу

Альтернативная гипотеза также является непараметрической и имеет вид:

Как и в случае проверки гипотезы согласованности для независимых выборок с помощью критерия Крамера-Уэлча, в рассматриваемой ситуации естественно использовать статистику

где

среднее арифметическое разностей, а 

выборочное среднее квадратическое отклонение. 
	Из Центральной предельной теоремы теории вероятностей и теорем о наследовании сходимости, описанных в главе 14, вытекает, что

при всех х, где Ф(х) - функция стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Отсюда вытекает правило принятия решений на уровне значимости 5%: если

то гипотезу однородности математических ожиданий связанных выборок принимают, в противном случае отклоняют. Как обычно, при желании использовать другой уровень значимости применяют в качестве критического значения иную квантиль нормального распределения. Повторим, что использование предельных теорем допустимо при достаточно больших объемах выборки. 
	Третий уровень моделей проверки однородности связанных выборок - это уровень проверки однородности (совпадения) функций распределения. Необходимо проверить непараметрическую гипотезу наиболее общего вида:

где

При этом предполагается, что все участвующие в вероятностной модели случайные величины независимы (в совокупности) между собой. 
	Отметим одно важное свойство функции распределения случайной величины Z. Если случайные величины Х и Y независимы и одинаково распределены, то для функции распределения H(x) = P(Z < x) случайной величины Z = X – Y выполнено, как нетрудно видеть, соотношение
H(-x) = 1 - H(x).
	Это соотношение означает симметрию функции распределения относительно 0. Плотность такой функции распределения является четной функцией, ее значения в точках х и (-х) совпадают.
	Проверка гипотезы однородности связанных выборок в наиболее общем случае сводится к проверке симметрии функции распределения разности Z = X – Y относительно 0.

5.6. Проверка гипотезы симметрии

	Рассмотрим методы проверки гипотезы симметрии функции распределения относительно 0. Сначала обсудим, какого типа отклонения от гипотезы симметрии можно ожидать при альтернативных гипотезах?
	Как и в случае проверки однородности независимых выборок, в зависимости от вида альтернативной гипотезы выделяют два подуровня моделей. Рассмотрим сначала альтернативу сдвига

В этом случае распределение Z при альтернативе отличается сдвигом от симметричного относительно 0. Для проверки гипотезы однородности может быть использован критерий знаковых рангов, разработанный Вилкоксоном (см., например, справочник [2, с.46-53]). 
	Он строится следующим образом. Пусть R(Zj) является рангом |Zj| в ранжировке от меньшего к большему абсолютных значений разностей |Z1|, |Z2|,…,|Zn|, j=1,2,…,n. Положим для j=1,2,…,n

Статистика критерия знаковых рангов имеет вид

Таким образом, нужно просуммировать ранги положительных разностей в вариационном ряду, построенном стандартным образом по абсолютным величинам всех разностей.
	Для практического использования статистики критерия знаковых рангов Вилкоксона либо обращаются к соответствующим таблицам и программному обеспечению, либо применяют асимптотические соотношения. При выполнении нулевой гипотезы статистика

имеет асимптотическое (при ) стандартное нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. Следовательно, правило принятия решений на уровне значимости 5%: имеет обычный вид: если

то гипотезу однородности связанных выборок по критерию знаковых рангов Вилкоксона принимают, в противном случае отклоняют. Как обычно, при желании использовать другой уровень значимости применяют в качестве критического значения иную квантиль нормального распределения. 
	Повторим еще раз: использование предельных теорем допустимо при достаточно больших объемах выборки. 
	Альтернативная гипотеза общего вида записывается как

при некотором х0 . Таким образом, проверке подлежит гипотеза симметрии относительно 0, которую можно переписать в виде
H(x) + H(-x) - 1 = 0 .
Для построенной по выборке Zj = хj  - уj , j = 1, 2, …, n, эмпирической функции распределения Hn(x) последнее соотношение выполнено лишь приближенно:

	Как измерять отличие от 0? По тем же соображениям, что и в предыдущем пункте, целесообразно использовать статистику типа омега-квадрат. Соответствующий критерий был предложен в работе [6]. Он имеет вид

В настоящем разделе удобно считать, что значение эмпирической функции распределения Hn(x) в точке х равно доле результатов наблюдений в выборке, меньших или равных х.
	В работе [6] найдено предельное распределение только что введенной статистики:

	Это предельное соотношение выполнено при любом определении эмпирической функции распределения Hn(x). Как тогда, когда значение функции Hn(x) равно доле результатов наблюдений в выборке, меньших или равных х. Другими словами, когда Hn(x) строится как непрерывная справа функция - в тех точках, куда попадают результаты наблюдений. Так и тогда, когда значение функции Hn(x) равно доле результатов наблюдений в выборке, меньших х. В этом варианте эмпирическая функция распределения Hn(x) строится как непрерывная слева функция - в тех точках, куда попадают результаты наблюдений.
	В табл. 5.2 приведены критические значения статистики типа омега-квадрат для проверки симметрии распределения (и тем самым для проверки однородности связанных выборок), соответствующие наиболее распространенным значениям уровней значимости. Расчеты проведены Г.В. Мартыновым из МГУ им. М.В.Ломоносова.

Таблица 5.2. 
Критические значения статистики , предназначенной 
для проверки симметрии распределения
Значение функции распределения 	Уровень значимости 	Критическое значение х статистики 	
0,90	0,10	1,20	
0,95	0,05	1,66	
0,99	0,01	2,80	

	Как следует из табл. 5.2, правило принятия решений при проверке однородности связанных выборок в наиболее общей постановке и при уровне значимости 5% формулируется так. Вычислить статистику . Если  < 1,66, то принять гипотезу однородности. В противном случае - отвергнуть.
	Пример. Пусть величины Zj , j=1, 2, …, 20, таковы:
20, 18, (-2), 34, 25, (-17), 24, 42, 16, 26, 
13, (-23), 35, 21, 19, 8, 27, 11, (-5), 7.
Соответствующий вариационный ряд имеет вид:
(-23) < (-17) < (-5) < (-2) < 7 < 8 < 11 < 13 < 16 < 18 <
< 19 < 20 < 21 < 24 < 25 < 26 < 27 < 34 < 35 < 42.
	Для расчета значения статистики  построим табл. 5.3 из 7 столбцов и 20 строк, не считая заголовков столбцов (сказуемого таблицы). В первом столбце указаны номера (ранги) членов вариационного ряда, во втором - сами эти члены, в третьем - значения эмпирической функции распределения при значениях аргумента, совпадающих с членами вариационного ряда. В следующем столбце приведены члены вариационного ряда с обратным знаком, а затем указываются соответствующие значения эмпирической функции распределения. Например, поскольку минимальное наблюдаемое значение равно (-23), то Hn(x)=0 при x < (-23), а потому для членов вариационного ряда с 14-го по 20-й в пятом столбце стоит 0. В качестве другого примера рассмотрим минимальный член вариационного ряда, т.е. (-23). Меняя знак, получаем 23. Это число стоит между 13-м и 14-м членами вариационного ряда, 21 < 23 < 24. На этом интервале эмпирическая функция распределения совпадает со своим значением в левом конце, поэтому следует записать в пятом столбце значение 0,65. Остальные ячейки пятого столбца заполняются аналогично. На основе третьего и пятого столбцов элементарно заполняется шестой столбец, а затем и седьмой. Остается найти сумму значений, стоящих в седьмом столбце. Подобная таблица удобна как для ручного счета, так и при использовании электронных таблиц типа Excel.

Таблица 5.3 
Расчет значения статистики 
для проверки симметрии распределения
j	Z(j)	Hn(Z(j))	- Z(j)	Hn(-Z(j))	Hn(Z(j))+
Hn(-Z(j))-1	(Hn(Z(j))+
Hn(-Z(j))-1)2	
1	-23	0,05	23	0,65	-0,30	0,09	
2	-17	0,10	17	0,45	-0,45	0,2025	
3	-5	0,15	5	0,20	-0,65	0,4225	
4	-2	0,20	2	0,20	-0,60	0,36	
5	7	0,25	-7	0,10	-0,65	0,4225	
6	8	0,30	-8	0,10	-0,60	0,36	
7	11	0.35	-11	0,10	-0,55	0,3025	
8	13	0,40	-13	0,10	-0,50	0,25	
9	16	0,45	-16	0,10	-0,45	0,2025	
10	18	0,50	-18	0,05	-0,45	0,2025	
11	19	0,55	-19	0,05	-0,40	0,16	
12	20	0,60	-20	0,05	-0,35	0,1225	
13	21	0,65	-21	0,05	-0,30	0,09	
14	24	0,70	-24	0	-0,30	0,09	
15	25	0,75	-25	0	-0,25	0,0625	
16	26	0,80	-26	0	-0,20	0,04	
17	27	0,85	-27	0	-0,15	0,0225	
18	34	0,90	-34	0	-0,10	0,01	
19	35	0,95	-35	0	-0,05	0,0025	
20	42	1,00	-42	0	0	0	
 
	Результаты расчетов (суммирование значений по седьмому столбцу табл. 5.3) показывают, что значение статистики  = 3,415. В соответствии с табл. 5.2 это означает, что на любом используемом в прикладных статистических исследованиях уровнях значимости отклоняется гипотеза симметрии распределения относительно 0 (а потому и гипотеза однородности в связанных выборках).

5.7. Реальные и номинальные уровни значимости 
в задачах проверки статистических гипотез

	Во многих монографиях и справочных таблицах при проверке статистических гипотез критические значения статистик указаны для априорно фиксированных (номинальных в терминологии [1]) уровней значимости . В качестве таковых обычно используются значения из тройки чисел 0,01, 0,05, 0,1, к которым иногда добавляют еще несколько: 0,001, 0,005 и др.
	Однако ясно, что для дискретных статистик (т.е. статистик с дискретными функциями распределения) к которым, в частности, относятся все непараметрические статистические критерии [1, 2], реальные уровни значимости  могут и совпадать с номинальными. Под  понимается максимально возможный уровень значимости дискретной статистики, не превосходящий заданный номинальный  (т.е при переходе к следующему по величине возможному значению дискретной статистики соответствующий уровень значимости оказывается больше заданного номинального). Поэтому в лучших таблицах [1, 2] для ограниченных объемов выборок (2 - 100) табулируются точные распределения дискретных статистик. Для каждой конкретной статистики реальный уровень значимости  - функция от объемов выборок n = (n1, …, nt), т.е.  = (n). 
	В одних таблицах приведены  [1,2], в других - нет. Возникает естественный вопрос: с чем это связано? Либо в работах, игнорирующих различие между номинальными и реальными уровнями значимости, нарушена культура табулирования, либо реальные  и номинальные  уровни значимости практически совпадают для всех n. Продемонстрируем, что по крайней мере для некоторых статистик выполнено первое из этих двух утверждений.
	В качестве примера рассмотрим критерий серий (Вольфовица) проверки однородности двух независимых выборок. Статистика этого критерия V – это число серий, т.е. частей общего вариационного ряда двух выборок, каждая из которых состоит из элементов одной выборки. При справедливости нулевой гипотезы о тождестве функций распределения, соответствующих двум независимым выборкам объемов n1 и n2, известно точное распределение [1, табл.6.7]

ï

ï

î

ï

ï

í

ì

+

=

+

=

=

=

+

-

-

-

-

-

-

+

-

-

-

-

,

1

2

,

,

2

,

2

)

,

|

(

1

2

1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

k

r

если 

C

C

C

C

C

k

r

если 

C

C

C

n

n

r

V

P

n

n

n

k

n

k

n

k

n

k

n

n

n

n

k

n

k

n

где r = 2, 3, …, 2n1 при n1 = n2 и r = 2, 3, …, 2n1 + 1 при n1 < n2 (без ограничения общности можно принять, что объем первой выборки не превосходит объема второй выборки, т.е. n1 < n2).
	Несложный расчет для номинального уровня значимости  = 0,05 показывается, что
	при n1 = n2 = 6 реальный уровень значимости  = 0,0260;
	при n1 = n2 = 8 реальный уровень значимости  = 0,0178;
	при n1 = n2 = 10 реальный уровень значимости  = 0,0370;
	при n1 = n2 = 12 реальный уровень значимости  = 0,0190.
	Таким образом, для рассматриваемых объемов выборок реальный уровень значимости в 2 - 3 раза меньше, чем номинальный. Это, очевидно, необходимо учитывать при интерпретации результатов анализа реальных статистических данных.
	В табл. 5.4, построенным по данным [1, 2, 7], для ряда непараметрических критериев проверки однородности двух независимых выборок приведены реальные уровни значимости (n) для номинального уровня значимости  = 0,05 и объемов выборок n = n1 = n2 = 6, 8, 10, 12. Проанализированы пять критериев.
	1. Двухвыборочный критерий Вилкоксона, являющийся линейной функцией от критерия Манна-Уитни и подробно рассмотренный в разд. 5.3. Напомним, что статистика Вилкоксона S - это сумма рангов элементов первой выборки

в общем вариационном ряду, построенном по объединенной выборке, включающей в себя все элементы обеих выборок (без ограничения общности можно принять, что объем первой выборки не превосходит объема второй выборки, т.е. n1 < n2).
	2. Критерий Ван-дер-Вардена [1, 7] - дальнейшее развитие критерия Вилкоксона - предназначен для анализа выборок, распределение которых близко к нормальному. Статистика Х критерия Ван-дер-Вардена имеет вид
,
где  есть квантиль порядка p стандартного нормального распределения с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1, т.е.  - обратная функция к .
	3. Двухвыборочный двухсторонний критерий Смирнова однородности двух независимых выборок рассмотрен в разд. 5.4. Он основан на использовании разности эмпирических функций распределения  и  построенных по первой и второй выборкам соответственно. Термин «двухсторонний» означает, что берется супремум модуля этой разности. Статистика двухвыборочного двухстороннего критерия Смирнова

в случае равенства объемов выборок n1 = n2 принимает значения кратные 1/n1, поскольку только такие значения принимают эмпирические функции распределения  и , а потому имеет (n1+1) возможных значений.
	4. Критерий знаков Z используют в случае равенства объемов выборок n1 = n2. Статистика этого критерия равна числу положительных разностей Xk - Yk элементов двух выборок с одинаковыми номерами. При справедливости нулевой гипотезы статистика Z имеет биномиальное распределение B(1/2; n1), а потому имеет (n1+1) возможных значений.
	5. Критерий серий (Вольфовица) V, о котором шла речь выше в начале настоящего раздела. Число его возможных значений не превосходит 2n1.

Таблица 5.4
Реальные уровни значимости  (n) для  = 0,05
Наименование и обозначение критерия	Объемы выборок n1 = n2	Примечания и ссылки	
	6	8	10	12		
Вилкоксона S	0,0320	0,0400	0,0480	0,0420	[2, с.280-281], 
[7, с.418 ]	
Ван-дер-Вардена X	0,0498	0,0498	0,0500	0,0500	Рассчитано по мето- дике [7, с.249-250]	
Смирнова D	0,0044	0,0372	0,0246	0,0158	[1, с.350], 
[2, с.406-427]	
Знаков Z	0,0312	0,0078	0,0214	0,0386	[2, с.273-274]	
Вольфовица (серий) V	0,0260	0,0178	0,0370	0,0190	Рассчитано по мето- дике [1, с.91-92]	

	Анализ содержания табл. 5.4 подтверждает предположение о существенности отличия реальных уровней значимости (n) от номинальных уровней значимости .
	Предположим теперь, что несмотря на установленные отличия, мы используем при проверке гипотезы однородности таблицы, в которых указаны , а не . Это приводит к снижению мощности критерия по сравнению с соответствующим рандомизированным критерием, обеспечивающим равенство  и . 
	Разъяснение. Поясним, что такое рандомизированный критерий. Пусть Y – статистика некоторого статистического критерия, принимающая дискретные значения; числа a и b, где a < b, - два соседних значения этой статистики, такие, что P(Y > b) <  и P(Y > a) >  (вероятности взяты в предположении справедливости нулевой гипотезы). Если критическое значение критерия равно b, т.е. нулевая гипотеза принимается при Y < b, то  = P(Y > b) < . Если же критическое значение равно следующему возможному (при движении в сторону уменьшения) значению a, т.е. нулевая гипотеза принимается при Y < a, то  = P(Y > a) > . Рандомизированный критерий получим, если при Y = b в некоторой доле p случаев будем принимать нулевую гипотезу, а в остальных случаях – альтернативную. Поскольку
P(Y = b) = P(Y > a) - P(Y > b),
то (реальный) уровень значимости рандомизированного критерия равен
(1 – p) P(Y = b) + P(Y > b) = (1 – p) P(Y > a) + p P(Y > b).
Ясно, что при соответствующем выборе параметра рандомизации p уровень значимости рандомизированного критерия совпадет с заданным номинальным уровнем .
	Для малых объемов выборок (2 - 20 элементов) понижение мощности из-за того, что , может быть существенным. Для иллюстрации этого в табл. 5.5 приведены результаты моделирования наиболее употребительных (согласно [1]) критериев проверки однородности двух независимых выборок. 
	Моделируются выборки одинакового объема из нормального закона распределения с математическими ожиданиями m1 и m2 и дисперсиями  и . Номинальный уровень значимости, определяющий конкретные критические значения для критериев, принят равным  = 0,05. Мощность критерия определяется моделированием N = 5000 пар выборок. При использовании N = 5000 моделируемых пар выборок среднее квадратическое отклонение оценок мощности  (при M > 0,95 имеем ). 
	Изучены критерии Вилкоксона S, Вольфовица V, Ван-дер-Вардена X, Смирнова D. Критерий Стьюдента t (см. например, [1]), как равномерно наиболее мощный в классе нормальных законов распределения, приведен для сравнительной оценки мощности рассматриваемых непараметрических критериев. (Моделирование и расчеты, приведенные в настоящем разделе, выполнены Ю.Э. Камнем и Я.Э. Камнем [8].)

Таблица 5.5
Мощности статистических критериев при  = 0,05
Номер экспери-мента	Объем выборок n1 = n2	Параметры	Мощность M статистического критерия 	
		m1	m2			S	V	X	D	t	
1	6	0	1	1	1	0,318	0,006	0,298	0,238	0,396	
2	8	0	1	1	1	0,452	0,104	0,426	0,068	0,484	
3	10	0	1	1	1	0,520	0,180	0,534	0,116	0,598	
4	12	0	1	1	1	0,632	0,076	0,618	0,462	0,682	
5	6	0	2	1	1	0,828	0,308	0,808	0,716	0,904	
6	8	0	2	1	1	0,958	0,510	0,954	0,458	0,976	
7	10	0	2	1	1	0,984	0,704	0,990	0,632	0,988	
8	12	0	2	1	1	0,996	0,568	0,996	0,978	0,998	

	Замечание. Приведенные в табл. 5.5 значения мощностей критериев интересны нам с точки зрения обсуждения их зависимости от различия реальных и номинальных уровней значимости. Эти значения зависят от предположений, принятых при моделировании. Так, критерии Вилкоксона и Ван-дер-Вардена «настроены» на использование в случае распределений, близких к нормальному семейству. При проверке гипотезы о совпадении функций распределения двух независимых выборок из логистического распределения с альтернативой сдвига критерий Вилкоксона является асимптотически оптимальным. А в случае выборок из нормального распределения аналогичным свойством обладает критерий Ван-дер-Вардена, причем известно, что семейства нормальных и логистических распределений весьма близки – расстояние Колмогорова между ними не превышает 0,01 (см. по вопросам асимптотической оптимальности непараметрических критериев монографию [9]). Поэтому нет ничего удивительного в том, что мощности критериев Вилкоксона и Ван-дер-Вардена близки к оптимуму в случае нормального распределения – к мощности критерия Стьюдента. Мощности критериев Смирнова и особенно критерия Вольфовица заметно меньше. Однако для выборок из других распределений (например, распределений Вейбулла-Гнеденко или гамма-распределений) ситуация иная – критерий Смирнова, как показывает компьютерное моделирование, оказывается более мощным, чем критерии Вилкоксона и Ван-дер-Вардена. Более того, критерий Смирнова – состоятельный, т.е. позволяет отклонить любую конкретную альтернативу (при соответствующих объемах выборок), а критерии Вилкоксона и Ван-дер-Вардена не являются состоятельными, некоторых альтернатив они «не чувствуют» (см. разд. 5.3). Поэтому вполне обоснованной является рекомендация о широком использовании состоятельных критериев Смирнова и типа омега-квадрат (Лемана-Розенблатта), данная в разд. 5.4. Что же касается критерия серий (Вольфовица), то из-за его отрицательных свойств (выраженной дискретности, низкой мощности) он в настоящее время выходит из употребления при анализе реальных данных, несмотря на прозрачность определения.
	Рассмотрения настоящего раздела позволяют сделать следующие выводы. 
	1. При создании методик и таблиц необходимо соблюдать определенную культуру табулирования. В качестве положительных примеров можно указать работы [1, 2].
	2. При малых объемах выборок использовать номинальные уровни значимости  вместо реальных уровней значимости  для дискретных статистик недопустимо.
	3. При конечных объемах выборок выбор того или иного критерия с дискретной статистикой должен сопровождаться исследованием влияния варьирования уровня значимости на качественную интерпретацию результатов проверки гипотез. В частности, выбор одного из двух конкурирующих непараметрических критериев K1 и K2 прежде всего должен зависеть от априорного выбора исследователем реального уровня значимости  или , соответствующего первому критерию K1 или второму K2, в качестве номинального уровня значимости . 
	Последний вывод демонстрирует сложность сравнения критериев с дискретными статистиками между собой, поскольку точки скачков распределений их статистик не совпадают. Следовательно, в отличие от критериев с непрерывными статистиками нельзя выбрать единый фиксированный уровень значимости и сравнить свойства критериев при этом уровне значимости.
	Для любого критерия проверки статистических гипотез реальный уровень значимости приближается к номинальному при безграничном возрастании объемов выборок, т.е.  при . Поэтому для прикладных исследований значительный интерес представляет определение верхней оценки скорости сходимости (n) к . Соответствующие теоретические результаты для критериев проверки однородности двух независимых или связанных выборок можно получить, основываясь на оценках скорости сходимости в принципе инвариантности (разд. 14.5). Некоторые оценки приведены в [10, гл.2]. Скорость сходимости также может быть оценена методом статистических испытаний (Монте-Карло). Пример подобного исследования подробно рассмотрен в разд.8.5 в ходе обсуждения проблем вероятностно-статистического моделирования помех, создаваемых электровозами. 
	В настоящей главе затронута лишь небольшая часть непараметрических методов анализа числовых статистических данных. Обратим внимание на непараметрические оценки плотности, используемые для описания данных, проверки однородности, в задачах восстановления зависимостей и других областях статистических методов. Непараметрические оценки плотности рассмотрены в главе 2.

Литература

1. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. – М.: Наука, 1983. - 416 с.
2. Холлендер М., Вульф Д. Непараметрические методы статистики. – М.: Финансы и статистика, 1983. - 518 с. 
3. Боровков А.А. Математическая статистика. – М.: Наука, 1984. - 472 с.
4. Гаек Я., Шидак 3. Теория ранговых критериев / Пер. с англ. - М.: Наука, 1971. – 376 с.
5. Смолянский М.Л. Таблицы неопределенных интегралов. - М.: ГИФМЛ, 1961. - 108 с. 
6. Орлов А.И. О проверке симметрии распределения. – Журнал «Теория вероятностей и ее применения». 1972. Т.17. No.2. С.372-377.
7. Ван-дер-Варден Б.Л. Математическая статистика. – М.: ИЛ, 1960. – 434 с.
8. Камень Ю.Э., Камень Я.Э., Орлов А.И. Реальные и номинальные уровни значимости в задачах проверки статистических гипотез. - Журнал «Заводская лаборатория». 1986. Т.52. № 12. С.55-57.
9. Никитин Я.Ю. Асимптотическая эффективность непараметрических критериев. - М.: Наука, 1995. - 240 с.
10. Орлов А.И. Устойчивость в социально-экономических моделях. - М.: Наука, 1979. – 296 с.

Контрольные вопросы и задачи

1. Почему непараметрические методы анализа числовых данных предпочтительнее параметрических?
2. Указать доверительные границы для математических ожиданий (с доверительной вероятностью 0,95) и проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий с помощью критерия Крамера-Уэлча (уровень значимости  = 0,05):

Номер варианта	n1		sx	n2		sy	
1	100	13,7	7,3	200	12,1	2,5	
2	200	10	5,3	400	12	1,7	

3. Проверить гипотезу об однородности функций распределения с помощью критерия Вилкоксона (на уровне значимости  = 0,05):

Первая выборка	33	27	12	27	39	42	47	48	50	32	
Вторая выборка	11	20	30	31	22	18	17	25	28	29	

4. Для каждого из N = 20 объектов даны значения Xj и Yj , j = 1, 2, …, N, результатов измерений (наблюдений, испытаний, анализов, опытов) двух признаков. Необходимо проверить, есть ли значимое различие между значениями двух признаков или же это различие может быть объяснено случайными отклонениям значений признаков. Другими словами, требуется проверить однородность (т.е. отсутствие различия) связанных выборок.

Таблица 5.6
Исходные данные для задачи 4.
j	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	
Xj	74	79	65	69	71	66	71	73	72	68	
Yj	73	65	71	69	70	69	78	70	60	62	
j	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	
Xj	70	69	76	74	72	69	74	72	77	75	
Yj	61	67	73	67	73	64	67	65	63	70	

	Проверку однородности на уровне значимости 0,05 проведите с помощью трех критериев:
	А) критерия знаков (основанного на проверке гипотезы р = 0,5 для биномиального распределения с использованием теоремы Муавра-Лапласа);
	Б) критерия для проверки равенства 0 математического ожидания (критерий основан на асимптотической нормальности выборочного среднего арифметического, деленного на выборочное среднее квадратическое отклонение);
	В) критерия типа омега-квадрат для проверки гипотезы симметрии функции распределения (разности результатов измерений, наблюдений, испытаний, анализов, опытов для двух признаков) относительно 0.
5. Какова роль альтернативных гипотез, в частности, гипотезы сдвига, в выборе критерия для проверки нулевой гипотезы?
6. Чем реальный уровень значимости отличается от номинального?
7. Как выбрать параметр рандомизации p, чтобы уровень значимости рандомизированного критерия совпал с заданным номинальным уровнем ?
8. Почему трудно сравнивать между собой статистические критерии проверки гипотез, статистики которых имеют дискретные распределения? 

Темы докладов, рефератов, исследовательских работ

1. Асимптотическая нормальность оценок параметров как основа проверки гипотез о параметрах.
2. Сравнение двухвыборочных критериев Крамера-Уэлча и Стьюдента.
3. Достоинства и недостатки двухвыборочного критерия Вилкоксона по сравнению с другими непараметрическими критериями однородности.
4. Для данных задачи 3 рассчитайте значения статистик Смирнова и типа омега-квадрат (Лемана – Розенблатта) и проверьте однородность двух выборок. 
	Примечание. В соответствии с [1] для уровня значимости 0,05 критическим значением для критерия Смирнова является 0,7 (т.е. гипотеза однородности отклоняется, если значение статистики Смирнова не менее 0,7). Для того же уровня значимости критическим значением для критерия типа омега-квадрат (Лемана – Розенблатта) является 0,461.
5. Многообразие непараметрических критериев проверки гипотез (по монографиям [1, 2, 4]).
6. Сравнение мощностей непараметрических критериев однородности. 
7. Рандомизированные критерии.
8. Подходы к определению асимптотической эффективности непараметрических критериев.